13、极限lim_(xto0yto0)(x^2+y^2)sin(1)/(x^2)+y^(2)=( )。A. 0B. 1C. 2D. 不存在

考查要点：本题主要考查二元函数极限的计算，涉及极坐标变换和夹逼定理的应用。

解题核心思路：

1. 变量替换：将二元变量转换为极坐标形式，简化表达式。
2. 有界函数与无穷小量乘积：利用$\sin$函数的有界性，结合$r^2$趋近于0的性质，通过夹逼定理判断极限。

破题关键点：

• 极坐标转换：令$r = \sqrt{x^2 + y^2}$，将二元极限转化为一元极限。
• 夹逼定理的应用：通过不等式$-r^2 \leq r^2 \sin\frac{1}{r^2} \leq r^2$，确定极限值为0。

步骤1：变量替换
令$r = \sqrt{x^2 + y^2}$，当$x \to 0$且$y \to 0$时，$r \to 0$。此时原式可化简为：
$\lim_{r \to 0} r^2 \sin \frac{1}{r^2}$

步骤2：分析$\sin$函数的有界性
由于$\sin\frac{1}{r^2}$的取值范围始终在$[-1, 1]$之间，即：
$-1 \leq \sin \frac{1}{r^2} \leq 1$

步骤3：应用夹逼定理
将不等式两边乘以$r^2$（非负数），得：
$-r^2 \leq r^2 \sin \frac{1}{r^2} \leq r^2$
当$r \to 0$时，$r^2 \to 0$，因此：
$\lim_{r \to 0} (-r^2) = 0, \quad \lim_{r \to 0} r^2 = 0$
根据夹逼定理，中间表达式的极限也为0：
$\lim_{r \to 0} r^2 \sin \frac{1}{r^2} = 0$