【例3】(2025年1,2,3)已知f(x)=int_(0)^xe^t^(2)sin tdt,g(x)=int_(0)^xe^t^(2)dtcdotsin^2x,则（） (A.)x=0是f(x)的极值点，也是g(x)的极值点. (B.)x=0是f(x)的极值点，(0,0)是曲线y=g(x)的拐点. (C.)x=0是f(x)的极值点，(0,0)是曲线y=f(x)的拐点. (D.)(0,0)是曲线y=f(x)的拐点，也是曲线y=g(x)的拐点. 【解1】f^prime(0)=0,f^primeprime(0)=1,g^prime(0)=0,

为了确定正确答案，我们需要分析函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 在 $ x = 0 $ 处的性质。让我们从找到 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 的导数开始。 ### 第一步：分析 $ f(x) $ 函数 $ f(x) $ 定义为： \[ f(x) = \int_{0}^{x} e^{t^2} \sin t \, dt \] #### 一阶导数 $ f'(x) $ 使用微积分基本定理，我们得到： \[ f'(x) = e^{x^2} \sin x \] #### 二阶导数 $ f''(x) $ 为了找到 $ f''(x) $，我们对 $ f'(x) $ 进行微分： \[ f''(x) = \frac{d}{dx} \left( e^{x^2} \sin x \right) \] 使用乘积法则，我们有： \[ f''(x) = e^{x^2} \cdot 2x \cdot \sin x + e^{x^2} \cdot \cos x = e^{x^2} (2x \sin x + \cos x) \] #### 在 $ x = 0 $ 处评估导数 \[ f'(0) = e^{0^2} \sin 0 = 1 \cdot 0 = 0 \] \[ f''(0) = e^{0^2} (2 \cdot 0 \cdot \sin 0 + \cos 0) = 1 \cdot (0 + 1) = 1 \] 由于 $ f'(0) = 0 $ 且 $ f''(0) \neq 0 $，$ x = 0 $ 是 $ f(x) $ 的临界点，且 $ f(x) $ 在 $ x = 0 $ 处有局部极值。此外，由于 $ f''(0) > 0 $，$ f(x) $ 在 $ x = 0 $ 处有局部最小值。 ### 第二步：分析 $ g(x) $ 函数 $ g(x) $ 定义为： \[ g(x) = \left( \int_{0}^{x} e^{t^2} \, dt \right) \sin^2 x \] #### 一阶导数 $ g'(x) $ 使用乘积法则，我们得到： \[ g'(x) = \left( \int_{0}^{x} e^{t^2} \, dt \right) \cdot 2 \sin x \cos x + e^{x^2} \cdot \sin^2 x \] \[ g'(x) = \left( \int_{0}^{x} e^{t^2} \, dt \right) \cdot \sin 2x + e^{x^2} \sin^2 x \] #### 在 $ x = 0 $ 处评估一阶导数 \[ g'(0) = \left( \int_{0}^{0} e^{t^2} \, dt \right) \cdot \sin 0 + e^{0^2} \sin^2 0 = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 0 \] 由于 $ g'(0) = 0 $，$ x = 0 $ 是 $ g(x) $ 的临界点。 #### 二阶导数 $ g''(x) $ 为了确定 $ x = 0 $ 附近的凹凸性，我们需要 $ g''(x) $： \[ g''(x) = \frac{d}{dx} \left( \left( \int_{0}^{x} e^{t^2} \, dt \right) \sin 2x + e^{x^2} \sin^2 x \right) \] 这相当复杂，但我们可以直接在 $ x = 0 $ 处评估 $ g''(x) $： \[ g''(0) = \lim_{x \to 0} \frac{g'(x) - g'(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{\left( \int_{0}^{x} e^{t^2} \, dt \right) \sin 2x + e^{x^2} \sin^2 x}{x} \] 使用 $ x $ 的小值的近似： \[ \sin 2x \approx 2x \quad \text{和} \quad \sin^2 x \approx x^2 \] \[ g''(0) \approx \lim_{x \to 0} \frac{\left( \int_{0}^{x} e^{t^2} \, dt \right) \cdot 2x + e^{x^2} \cdot x^2}{x} \] \[ g''(0) \approx \lim_{x \to 0} \left( 2 \int_{0}^{x} e^{t^2} \, dt + e^{x^2} \cdot x \right) \] \[ g''(0) \approx 2 \int_{0}^{0} e^{t^2} \, dt + e^{0^2} \cdot 0 = 0 + 0 = 0 \] 由于 $ g''(0) = 0 $，我们需要检查 $ g'''(0) $ 来确定 $ x = 0 $ 处的凹凸性变化： \[ g'''(0) \neq 0 \] 这表明 $ (0,0) $ 是 $ g(x) $ 的拐点。 ### 结论 - $ x = 0 $ 是 $ f(x) $ 的极值点。 - $ (0,0) $ 是 $ g(x) $ 的拐点。 因此，正确答案是： \[ \boxed{B} \]