设线性方程组(X)_(1)+(X)_(2)-(X)_(3)=-12(X)_(1)+K(X)_(2)-2(X)_(3)=0K(X)_(1)+2(X)_(2)+(X)_(3)=K（1）K为何值时,方程组有唯一解、无解.（2）K为何值时,方程组有无穷多解?并求出其通解.

步骤 1：计算系数矩阵的行列式
首先，我们计算线性方程组的系数矩阵的行列式，以确定方程组的解的情况。系数矩阵为：
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 \\
2 & k & -2 \\
k & 2 & 1
\end{pmatrix}
$$
行列式为：
$$
\det(A) = \begin{vmatrix}
1 & 1 & -1 \\
2 & k & -2 \\
k & 2 & 1
\end{vmatrix}
$$
步骤 2：计算行列式的值
计算行列式的值，我们得到：
$$
\det(A) = 1 \cdot (k \cdot 1 - (-2) \cdot 2) - 1 \cdot (2 \cdot 1 - (-2) \cdot k) - 1 \cdot (2 \cdot 2 - k \cdot k)
$$
$$
= 1 \cdot (k + 4) - 1 \cdot (2 + 2k) - 1 \cdot (4 - k^2)
$$
$$
= k + 4 - 2 - 2k - 4 + k^2
$$
$$
= k^2 - k - 2
$$
步骤 3：分析行列式的值
行列式 $\det(A) = k^2 - k - 2$，我们求解 $k^2 - k - 2 = 0$，得到：
$$
k^2 - k - 2 = (k - 2)(k + 1) = 0
$$
因此，$k = 2$ 或 $k = -1$。
步骤 4：讨论方程组的解的情况
- 当 $k \neq 2$ 且 $k \neq -1$ 时，$\det(A) \neq 0$，方程组有唯一解。
- 当 $k = 2$ 时，$\det(A) = 0$，需要进一步分析方程组是否有解。
- 当 $k = -1$ 时，$\det(A) = 0$，需要进一步分析方程组是否有解。
步骤 5：讨论 $k = 2$ 时方程组是否有解
当 $k = 2$ 时，方程组变为：
$$
\begin{cases}
X_1 + X_2 - X_3 = -1 \\
2X_1 + 2X_2 - 2X_3 = 0 \\
2X_1 + 2X_2 + X_3 = 2
\end{cases}
$$
第二式和第一式相同，第三式与第一式矛盾，因此方程组无解。
步骤 6：讨论 $k = -1$ 时方程组是否有解
当 $k = -1$ 时，方程组变为：
$$
\begin{cases}
X_1 + X_2 - X_3 = -1 \\
2X_1 - X_2 - 2X_3 = 0 \\
-X_1 + 2X_2 + X_3 = -1
\end{cases}
$$
通过消元法，可以得到方程组的通解。
步骤 7：求解 $k = -1$ 时方程组的通解
通过消元法，可以得到方程组的通解为：
$$
(X_1, X_2, X_3) = \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 0\right) + m(1, 0, 1)
$$
其中，$m$ 为任意实数。