23.设f(x)=lim_(tto+infty)(x+e^tx)/(1+e^tx)，则x=0是f(x)的（）.(A)可去间断点 (B)跳跃间断点(C)振荡间断点 (D)无穷间断点
题目解答
答案
为了确定 $x = 0$ 是函数 $f(x) = \lim_{t \to +\infty} \frac{x + e^{tx}}{1 + e^{tx}}$ 的哪种间断点，我们需要分析 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处的极限行为。我们首先考虑 $x$ 的不同情况来求出 $f(x)$ 的表达式。
情况1: $x > 0$
当 $x > 0$ 时， $e^{tx}$ 随 $t \to +\infty$ 而 tends $+\infty$。因此，我们可以将 $e^{tx}$ 从分子和分母中提取出来：
$f(x) = \lim_{t \to +\infty} \frac{x + e^{tx}}{1 + e^{tx}} = \lim_{t \to +\infty} \frac{e^{tx} \left( \frac{x}{e^{tx}} + 1 \right)}{e^{tx} \left( \frac{1}{e^{tx}} + 1 \right)} = \lim_{t \to +\infty} \frac{\frac{x}{e^{tx}} + 1}{\frac{1}{e^{tx}} + 1} = \frac{0 + 1}{0 + 1} = 1.$
所以，当 $x > 0$ 时， $f(x) = 1$。
情况2: $x < 0$
当 $x < 0$ 时， $e^{tx}$ 随 $t \to +\infty$ 而 tends $0$。因此，我们可以直接代入 $e^{tx} = 0$：
$f(x) = \lim_{t \to +\infty} \frac{x + e^{tx}}{1 + e^{tx}} = \frac{x + 0}{1 + 0} = x.$
所以，当 $x < 0$ 时， $f(x) = x$。
情况3: $x = 0$
当 $x = 0$ 时，表达式变为：
$f(0) = \lim_{t \to +\infty} \frac{0 + e^{t \cdot 0}}{1 + e^{t \cdot 0}} = \lim_{t \to +\infty} \frac{0 + 1}{1 + 1} = \frac{1}{2}.$
所以，当 $x = 0$ 时， $f(0) = \frac{1}{2}$。
总结
我们得到函数 $f(x)$ 的分段表达式：
$f(x) = \begin{cases} 1 & \text{if } x > 0, \\\frac{1}{2} & \text{if } x = 0, \\x & \text{if } x < 0.\end{cases}$
间断点分析
现在，我们分析 $x = 0$ 处的左右极限：
- 左极限 $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x = 0$.
- 右极限 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 1 = 1$.
- 函数值 $f(0) = \frac{1}{2}$.
由于左极限、右极限和函数值在 $x = 0$ 处都不相等， $x = 0$ 是 $f(x)$ 的跳跃间断点。
因此，正确答案是 $\boxed{B}$.
解析
考查要点：本题主要考查分段函数在特定点的间断类型判断，需要结合极限的计算和间断点的分类标准。
解题核心思路：
- 分情况讨论：根据$x$的不同取值（正、负、零），分析极限表达式$\lim_{t \to +\infty} \frac{x + e^{tx}}{1 + e^{tx}}$的值。
- 确定函数表达式：通过极限计算得到$f(x)$的分段表达式。
- 分析间断点类型：计算$x=0$处的左右极限和函数值，判断间断类型。
破题关键点：
- 指数函数$e^{tx}$的极限性质：当$x>0$时，$e^{tx} \to +\infty$；当$x<0$时，$e^{tx} \to 0$；当$x=0$时，$e^{tx}=1$。
- 左右极限与函数值的对比：通过左右极限是否存在且相等，结合函数值，判断间断类型。
情况1：$x > 0$
当$x > 0$时，$e^{tx} \to +\infty$，分子和分母的主导项均为$e^{tx}$，因此：
$f(x) = \lim_{t \to +\infty} \frac{e^{tx} \left( \frac{x}{e^{tx}} + 1 \right)}{e^{tx} \left( \frac{1}{e^{tx}} + 1 \right)} = \frac{0 + 1}{0 + 1} = 1.$
情况2：$x < 0$
当$x < 0$时，$e^{tx} \to 0$，直接代入得：
$f(x) = \frac{x + 0}{1 + 0} = x.$
情况3：$x = 0$
当$x = 0$时，代入原式：
$f(0) = \lim_{t \to +\infty} \frac{0 + 1}{1 + 1} = \frac{1}{2}.$
间断点分析
- 左极限：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x = 0$。
- 右极限：$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 1 = 1$。
- 函数值：$f(0) = \frac{1}{2}$。
由于左右极限存在但不相等，且函数值不等于任一极限，因此$x=0$是跳跃间断点。