求微分方程 dfrac (dy)(dx)=2xy 的通解.

本题考查可分离变量的微分方程的求解。解题思路是先判断方程类型，此方程为可分离变量的微分方程，然后通过分离变量，再对等式两边分别积分，最后求出通解。

详细解答

1. 分离变量：
   已知微分方程$\frac{dy}{dx}=2xy$，当$y\neq 0$时，将方程变形为$\frac{dy}{y}=2xdx$。这一步的原理是把含有$y$的项和$dy$放在等式一边，含有$x$的项和$dx$放在等式另一边，以便后续分别对两边进行积分。
2. 两边积分：
   对$\frac{dy}{y}=2xdx$两边同时积分，根据积分公式$\int\frac{1}{y}dy=\ln|y|$和$\int 2xdx = x^{2}+C$（$C$为常数），可得$\int\frac{dy}{y}=\int 2xdx$，即$\ln|y|=x^{2}+\ln|C_{1}|$。这里$\ln|C_{1}|$是积分常数，为了后续计算方便，写成对数形式。
3. 求解$y$：
   由$\ln|y|=x^{2}+\ln|C_{1}|$，根据对数运算法则$\ln a+\ln b=\ln(ab)$，可将等式变形为$\ln|y|=\ln|C_{1}e^{x^{2}}|$。因为对数函数是单调的，所以$|y| = |C_{1}e^{x^{2}}|$，即$y = C_{1}e^{x^{2}}$，其中$C_{1}$为不为零的任意常数。
4. 考虑特殊情况：
   当$y = 0$时，代入原方程$\frac{dy}{dx}=2xy$，左边$\frac{dy}{dx}=0$，右边$2x\times0 = 0$，等式成立，所以$y = 0$也是原方程的解。
5. 统一通解形式：
   为了将$y = 0$和$y = C_{1}e^{x^{2}}$（$C_{1}\neq 0$）统一表示，令$C$为任意常数，当$C = 0$时，$y = 0$；当$C\neq 0$时，$y = Ce^{x^{2}}$，所以原方程的通解为$y = Ce^{x^{2}}$（$C$为任意常数）。