30. (1)给出事件A,B的例子,使得(i)P(A|B)P(A).(2)设事件A,B,C相互独立,证明(i)C与AB相互独立;(ii)C与Acup B相互独立.(3)设事件A的概率P(A)=0,证明对于任意另一事件B,有A,B相互独立.(4)证明事件A,B相互独立的充要条件是P(A|B)=P(A|overline(B)).

(1) **例子：** - **(i) $P(A|B) < P(A)$：** 设 $A$ 为“偶数点”，$B$ 为“奇数点”，则 $P(A|B) = 0 < P(A) = \frac{1}{2}$。 - **(ii) $P(A|B) = P(A)$：** 设 $A$ 为“偶数点”，$B$ 为“点数 $\geq 1$”，则 $P(A|B) = P(A) = \frac{1}{2}$。 - **(iii) $P(A|B) > P(A)$：** 设 $A$ 为“偶数点”，$B$ 为“点数 $\geq 4$”，则 $P(A|B) = \frac{2}{3} > P(A) = \frac{1}{2}$。 (2) **证明：** - **(i) $C$ 与 $AB$ 相互独立：** 由独立性，$P(ABC) = P(A)P(B)P(C) = P(AB)P(C)$，故 $C$ 与 $AB$ 独立。 - **(ii) $C$ 与 $A \cup B$ 相互独立：** $P(C(A \cup B)) = P(CA) + P(CB) - P(CAB) = P(C)P(A) + P(C)P(B) - P(C)P(A)P(B) = P(C)P(A \cup B)$，故 $C$ 与 $A \cup B$ 独立。 (3) **证明：** 若 $P(A) = 0$，则 $P(AB) \leq P(A) = 0$，故 $P(AB) = 0 = P(A)P(B)$，$A$ 与 $B$ 独立。 (4) **证明：** - **必要性：** 若 $A$、$B$ 独立，则 $P(A|B) = P(A) = P(A|\overline{B})$。 - **充分性：** 若 $P(A|B) = P(A|\overline{B})$，则推导得 $P(AB) = P(A)P(B)$，故 $A$、$B$ 独立。 \[ \boxed{ \begin{array}{ll} 1. & \text{略} \\ 2. & \text{略} \\ 3. & \text{略} \\ 4. & \text{略} \\ \end{array} } \]