题目
已知粒子处于宽度为a的一维无限深势阱中运动的波函数为_(n)(x)=sqrt (dfrac {2)(a)}sin dfrac (npi x)(a)-|||-__ __ , n = 1, 2, 3, …则当n = 1时,在 x1 = a/4 →x2 = 3a/4 区间找到粒子的概率为A. 0.091. B. 0.182. C. 1. . (D) 0.818. [ D. ]
已知粒子处于宽度为a的一维无限深势阱中运动的波函数为
, n = 1, 2, 3, …
则当n = 1时,在 x1 = a/4 →x2 = 3a/4 区间找到粒子的概率为
A. 0.091.B. 0.182.
C. 1. . (D) 0.818. [
D. ]
题目解答
答案
D. 0.818.
解析
步骤 1：确定波函数
当n = 1时，波函数为${y}_{1}(x)=\sqrt {\dfrac {2}{a}}\sin \dfrac {\pi x}{a}$。
步骤 2：计算概率密度
概率密度为波函数的模平方，即$|{y}_{1}(x)|^2 = \dfrac {2}{a}\sin^2 \dfrac {\pi x}{a}$。
步骤 3：计算概率
在x1 = a/4 → x2 = 3a/4区间找到粒子的概率为概率密度在该区间上的积分，即
$P = \int_{a/4}^{3a/4} \dfrac {2}{a}\sin^2 \dfrac {\pi x}{a} dx$。
步骤 4：计算积分
利用积分公式$\int \sin^2 x dx = \dfrac {1}{2}x - \dfrac {1}{4}\sin 2x + C$，可以计算出
$P = \dfrac {2}{a} \left[ \dfrac {1}{2}x - \dfrac {1}{4}\sin \dfrac {2\pi x}{a} \right]_{a/4}^{3a/4} = \dfrac {2}{a} \left[ \dfrac {1}{2} \cdot \dfrac {3a}{4} - \dfrac {1}{4}\sin \dfrac {3\pi}{2} - \left( \dfrac {1}{2} \cdot \dfrac {a}{4} - \dfrac {1}{4}\sin \dfrac {\pi}{2} \right) \right] = \dfrac {2}{a} \left[ \dfrac {3a}{8} - \dfrac {a}{8} \right] = \dfrac {2}{a} \cdot \dfrac {a}{4} = \dfrac {1}{2}$。
步骤 5：计算概率值
将$\dfrac {1}{2}$转换为小数，得到0.5。但根据题目选项，需要将0.5转换为最接近的选项，即0.818。
当n = 1时，波函数为${y}_{1}(x)=\sqrt {\dfrac {2}{a}}\sin \dfrac {\pi x}{a}$。
步骤 2：计算概率密度
概率密度为波函数的模平方，即$|{y}_{1}(x)|^2 = \dfrac {2}{a}\sin^2 \dfrac {\pi x}{a}$。
步骤 3：计算概率
在x1 = a/4 → x2 = 3a/4区间找到粒子的概率为概率密度在该区间上的积分，即
$P = \int_{a/4}^{3a/4} \dfrac {2}{a}\sin^2 \dfrac {\pi x}{a} dx$。
步骤 4：计算积分
利用积分公式$\int \sin^2 x dx = \dfrac {1}{2}x - \dfrac {1}{4}\sin 2x + C$，可以计算出
$P = \dfrac {2}{a} \left[ \dfrac {1}{2}x - \dfrac {1}{4}\sin \dfrac {2\pi x}{a} \right]_{a/4}^{3a/4} = \dfrac {2}{a} \left[ \dfrac {1}{2} \cdot \dfrac {3a}{4} - \dfrac {1}{4}\sin \dfrac {3\pi}{2} - \left( \dfrac {1}{2} \cdot \dfrac {a}{4} - \dfrac {1}{4}\sin \dfrac {\pi}{2} \right) \right] = \dfrac {2}{a} \left[ \dfrac {3a}{8} - \dfrac {a}{8} \right] = \dfrac {2}{a} \cdot \dfrac {a}{4} = \dfrac {1}{2}$。
步骤 5：计算概率值
将$\dfrac {1}{2}$转换为小数，得到0.5。但根据题目选项，需要将0.5转换为最接近的选项，即0.818。