题目

若由 Omega: x+y+z leq k，0 leq x leq 1，0 leq y leq 1，z geq 0 所确定,其中 k 是大于2的常数及 iint_(Omega) xdx dy dz = (7)/(4),则 k= ( )A. 5B. 3C. (14)/(3)D. (8)/(3)

若由 $\Omega: x+y+z \leq k$，$0 \leq x \leq 1$，$0 \leq y \leq 1$，$z \geq 0$ 所确定,其中 $k$ 是大于2的常数及 $\iint_{\Omega} xdx dy dz = \frac{7}{4}$,则 $k=$ ( ) A. 5 B. 3 C. $\frac{14}{3}$ D. $\frac{8}{3}$

题目解答

答案

我们来逐步分析并解决这个题目。 --- ### 题目回顾： 给定区域 $\Omega$ 由以下不等式确定： $$ x + y + z \leq k,\quad 0 \leq x \leq 1,\quad 0 \leq y \leq 1,\quad z \geq 0 $$ 其中 $k > 2$ 是常数。 又已知： $$ \iiint_{\Omega} x \, dx \, dy \, dz = \frac{7}{4} $$ 要求：求出 $k$ 的值。 --- ### 第一步：理解区域 $\Omega$ 区域 $\Omega$ 是由以下条件围成的立体区域： - $0 \le x \le 1$ - $0 \le y \le 1$ - $z \ge 0$ - $x + y + z \le k$ 这个区域可以理解为在立方体 $[0,1] \times [0,1] \times [0,\infty)$ 中，被平面 $x + y + z = k$ 截取的下部（即满足 $x + y + z \le k$ 的部分）。 由于 $k > 2$，而 $x + y \le 2$（因为 $x,y \in [0,1]$），所以这个平面在立方体内部截取一部分。 --- ### 第二步：写出三重积分表达式 我们要计算的是： $$ \iiint_{\Omega} x \, dx \, dy \, dz $$ 根据区域定义，我们可以写出积分的上下限： - $x$ 从 $0$ 到 $1$ - $y$ 从 $0$ 到 $1$ - $z$ 从 $0$ 到 $k - x - y$ 因此积分可以写为： $$ \int_0^1 \int_0^1 \int_0^{k - x - y} x \, dz \, dy \, dx $$ --- ### 第三步：计算积分 先对 $z$ 积分： $$ \int_0^{k - x - y} x \, dz = x(k - x - y) $$ 所以整个积分为： $$ \int_0^1 \int_0^1 x(k - x - y) \, dy \, dx $$ 接下来先对 $y$ 积分： $$ \int_0^1 x(k - x - y) \, dy = x \int_0^1 (k - x - y) \, dy $$ $$ = x \left[ (k - x)y - \frac{y^2}{2} \right]_0^1 = x \left( (k - x) - \frac{1}{2} \right) $$ $$ = x(k - x - \frac{1}{2}) $$ 再对 $x$ 积分： $$ \int_0^1 x(k - x - \frac{1}{2}) \, dx = \int_0^1 x(k - \frac{1}{2} - x) \, dx $$ 展开： $$ = \int_0^1 \left( (k - \frac{1}{2})x - x^2 \right) dx $$ 分别积分： $$ = (k - \frac{1}{2}) \int_0^1 x \, dx - \int_0^1 x^2 \, dx = (k - \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{3} $$ $$ = \frac{k - \frac{1}{2}}{2} - \frac{1}{3} = \frac{k}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{3} $$ 通分： $$ = \frac{k}{2} - \left( \frac{3}{12} + \frac{4}{12} \right) = \frac{k}{2} - \frac{7}{12} $$ 题目给出： $$ \iiint_{\Omega} x \, dx \, dy \, dz = \frac{7}{4} $$ 所以我们有： $$ \frac{k}{2} - \frac{7}{12} = \frac{7}{4} $$ --- ### 第四步：解方程 $$ \frac{k}{2} = \frac{7}{4} + \frac{7}{12} $$ 通分右边： $$ \frac{7}{4} = \frac{21}{12},\quad \frac{21}{12} + \frac{7}{12} = \frac{28}{12} = \frac{7}{3} $$ 所以： $$ \frac{k}{2} = \frac{7}{3} \Rightarrow k = \frac{14}{3} $$ --- ### ✅ 最终答案： $$ \boxed{C. \frac{14}{3}} $$

解析

考查要点：本题主要考查三重积分的计算及空间区域的分析能力。需要根据给定的不等式确定积分区域，并正确设置积分上下限，通过分步积分求解未知参数。

解题核心思路：

  1. 区域分析：明确区域$\Omega$由$x+y+z \leq k$、$0 \leq x \leq 1$、$0 \leq y \leq 1$、$z \geq 0$围成，且$k>2$，此时积分区域为立方体被平面截取的部分。
  2. 积分顺序选择：选择先对$z$积分，再对$y$，最后对$x$，简化计算。
  3. 分步积分：逐层计算三重积分，最终通过方程求解$k$的值。

破题关键点：

  • 正确设置积分上下限：利用$x$和$y$的范围确定$z$的上限为$k - x - y$。
  • 分步积分化简：通过逐层积分将三重积分转化为单变量积分，注意代数运算的准确性。

积分区域分析

区域$\Omega$由以下条件确定：

  • $0 \leq x \leq 1$，$0 \leq y \leq 1$，$z \geq 0$；
  • $x + y + z \leq k$（因$k > 2$，$z$的上限始终为正，无需分段讨论）。

积分表达式建立

三重积分可表示为：
$\iiint_{\Omega} x \, dx \, dy \, dz = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{k - x - y} x \, dz \, dy \, dx$

分步计算积分

  1. 对$z$积分：
    $\int_{0}^{k - x - y} x \, dz = x(k - x - y)$

  2. 对$y$积分：
    $\int_{0}^{1} x(k - x - y) \, dy = x \left[ (k - x)y - \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{1} = x(k - x - \frac{1}{2})$

  3. 对$x$积分：
    $\int_{0}^{1} x(k - x - \frac{1}{2}) \, dx = \int_{0}^{1} \left( (k - \frac{1}{2})x - x^2 \right) dx = \frac{k}{2} - \frac{7}{12}$

解方程求$k$

根据题意，积分结果为$\frac{7}{4}$：
$\frac{k}{2} - \frac{7}{12} = \frac{7}{4} \implies k = \frac{14}{3}$