(3)适合条件A^2=A的矩阵称为等幂矩阵.设A,B是等幂矩阵,则A,B满足______时，A+B仍为等幂矩阵.A. A=0,B=EB. AB=0C. AB+BA=0D. AB+BA=E

考查要点：本题主要考查等幂矩阵的性质及矩阵运算规律，需要结合等幂矩阵的定义，通过代数运算推导出满足条件的附加关系。

解题核心思路：

1. 等幂矩阵的定义：矩阵$A$满足$A^2 = A$。
2. 目标条件：若$A+B$为等幂矩阵，则需$(A+B)^2 = A+B$。
3. 展开并化简：利用等幂矩阵的性质$A^2 = A$和$B^2 = B$，展开$(A+B)^2$，得到$AB + BA$的约束条件。

破题关键点：

• 关键等式：通过展开$(A+B)^2$并代入等幂条件，推导出$AB + BA = 0$。
• 选项分析：逐一验证选项是否满足该等式，排除干扰项。

等幂矩阵的定义：若矩阵$A$满足$A^2 = A$，则称$A$为等幂矩阵。

目标条件：若$A+B$为等幂矩阵，则需满足：
$(A+B)^2 = A+B.$

展开左边：
$(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2.$
由于$A$和$B$均为等幂矩阵，代入$A^2 = A$和$B^2 = B$，得：
$A + AB + BA + B.$

等式成立条件：
要求展开式等于$A+B$，即：
$A + AB + BA + B = A + B.$
消去相同项后，得到：
$AB + BA = 0.$

选项分析：

• 选项A：若$A=0$，$B=E$，则$A+B=E$，此时$E^2=E$，但此为特例，不具有一般性。
• 选项B：若$AB=0$，需进一步验证$BA=0$是否成立。若仅$AB=0$而$BA \neq 0$，则$AB + BA \neq 0$，条件不充分。
• 选项C：$AB + BA = 0$直接满足等式，正确。
• 选项D：若$AB + BA = E$，则$(A+B)^2 = A + B + E \neq A + B$，不成立。