16 题型：填空题 分值：5分有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n差的绝对值不超过(1)/(2)的概率是____.

考查要点：本题主要考查排列组合、条件概率以及绝对值不等式的转化能力。关键在于将题目中的条件转化为数学表达式，并通过枚举法计算符合条件的情况数。

解题核心思路：

1. 表达式转化：将$m$和$n$的表达式代入条件$|m - n| \leq \frac{1}{2}$，化简得到$|a + b - 2c| \leq 3$。
2. 枚举法：对每个可能的$c$值（1至6），计算满足条件的$(a, b)$有序对数目。
3. 概率计算：将符合条件的总数除以总排列数$A_6^3 = 120$。

破题关键点：

• 正确转化不等式：通过代数变形将问题转化为关于$a + b$和$c$的关系。
• 有序对的计数：注意$a$和$b$是有序抽取的，需考虑排列顺序。

步骤1：建立条件关系式

设前两次取球数字为$a$和$b$，第三次为$c$，则：
$m = \frac{a + b}{2}, \quad n = \frac{a + b + c}{3}$
根据条件$|m - n| \leq \frac{1}{2}$，化简得：
$\left| \frac{a + b}{2} - \frac{a + b + c}{3} \right| \leq \frac{1}{2} \implies |a + b - 2c| \leq 3$

步骤2：枚举$c$的可能值

对每个$c \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$，计算满足$|a + b - 2c| \leq 3$的$(a, b)$有序对数目：

当$c = 1$时

剩余数字为$\{2, 3, 4, 5, 6\}$，要求$|a + b - 2| \leq 3$，即$a + b \leq 5$。
唯一可能的组合为$a + b = 5$，对应$(2, 3)$和$(3, 2)$，共2种。

当$c = 2$时

剩余数字为$\{1, 3, 4, 5, 6\}$，要求$|a + b - 4| \leq 3$，即$a + b \in [1, 7]$。
符合条件的组合有10种，如$(1, 3)$、$(3, 1)$等。

当$c = 3$时

剩余数字为$\{1, 2, 4, 5, 6\}$，要求$|a + b - 6| \leq 3$，即$a + b \in [3, 9]$。
符合条件的组合有16种，如$(1, 2)$、$(2, 1)$等。

当$c = 4$时

剩余数字为$\{1, 2, 3, 5, 6\}$，要求$|a + b - 8| \leq 3$，即$a + b \in [5, 11]$。
符合条件的组合有16种，如$(1, 5)$、$(5, 1)$等。

当$c = 5$时

剩余数字为$\{1, 2, 3, 4, 6\}$，要求$|a + b - 10| \leq 3$，即$a + b \in [7, 13]$。
符合条件的组合有10种，如$(1, 6)$、$(6, 1)$等。

当$c = 6$时

剩余数字为$\{1, 2, 3, 4, 5\}$，要求$|a + b - 12| \leq 3$，即$a + b \in [9, 15]$。
唯一可能的组合为$a + b = 9$，对应$(4, 5)$和$(5, 4)$，共2种。

步骤3：计算概率

总符合条件的取法数为：
$2 + 10 + 16 + 16 + 10 + 2 = 56$
总取法数为排列数$A_6^3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$，因此概率为：
$\frac{56}{120} = \frac{7}{15}$