2.画出积分区域,并计算下列二重积分:-|||-(2) xy^2dσ,其中D是由圆周 ^2+(y)^2=4 及y轴所围成的右半闭区域;-|||-D

步骤 1：确定积分区域
积分区域D是由圆周 ${x}^{2}+{y}^{2}=4$ 及y轴所围成的右半闭区域。这意味着x的取值范围是从0到2，而y的取值范围是从-2到2。因此，我们可以将积分区域D表示为 $0\leqslant x\leqslant \sqrt {4-{y}^{2}},-2\leqslant y\leqslant 2$。

步骤 2：设置二重积分
根据积分区域D，我们可以设置二重积分为：
$$\iint_{D} xy^2 \, d\sigma = \int_{-2}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-y^2}} xy^2 \, dx \, dy$$

步骤 3：计算内层积分
首先计算内层积分，即对x的积分：
$$\int_{0}^{\sqrt{4-y^2}} xy^2 \, dx = \left[ \frac{1}{2}x^2y^2 \right]_{0}^{\sqrt{4-y^2}} = \frac{1}{2}(\sqrt{4-y^2})^2y^2 = \frac{1}{2}(4-y^2)y^2$$

步骤 4：计算外层积分
接下来计算外层积分，即对y的积分：
$$\int_{-2}^{2} \frac{1}{2}(4-y^2)y^2 \, dy = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} (4y^2 - y^4) \, dy$$
$$= \frac{1}{2} \left[ \frac{4}{3}y^3 - \frac{1}{5}y^5 \right]_{-2}^{2}$$
$$= \frac{1}{2} \left( \frac{4}{3}(2^3) - \frac{1}{5}(2^5) - \left( \frac{4}{3}(-2)^3 - \frac{1}{5}(-2)^5 \right) \right)$$
$$= \frac{1}{2} \left( \frac{32}{3} - \frac{32}{5} + \frac{32}{3} - \frac{32}{5} \right)$$
$$= \frac{1}{2} \left( \frac{64}{3} - \frac{64}{5} \right)$$
$$= \frac{1}{2} \left( \frac{320 - 192}{15} \right)$$
$$= \frac{1}{2} \left( \frac{128}{15} \right)$$
$$= \frac{64}{15}$$