题目

三、设随机变量X的概率密度函数为f(x)=}k(1-x),0le xle 10,其他(1)求常数k; (2)求PX>(1)/(2); (3)求随机变量函数Y=X^3的概率密度f_(Y)(y).

三、设随机变量X的概率密度函数为 $f(x)=\begin{cases}k(1-x),0\le x\le 1\\0,其他\end{cases}$ (1)求常数k; (2)$求P\left\{X>\frac{1}{2}\right\}$; (3)求随机变量函数$Y=X^{3}$的概率密度$f_{Y}(y)$.

题目解答

答案

(1) **求常数 $k$** 由概率密度函数的性质，总概率为1： \[ \int_0^1 k(1-x) \, dx = 1 \implies k \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = 1 \implies k \cdot \frac{1}{2} = 1 \implies k = 2 \] **答案：** $k = 2$ (2) **求 $P\left\{X > \frac{1}{2}\right\}$** \[ P\left\{X > \frac{1}{2}\right\} = \int_{\frac{1}{2}}^1 2(1-x) \, dx = 2 \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_{\frac{1}{2}}^1 = 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{3}{8} \right) = \frac{1}{4} \] **答案：** $\frac{1}{4}$ (3) **求 $Y = X^3$ 的概率密度 $f_Y(y)$** 设 $y = x^3$，则 $x = y^{1/3}$，$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{3} y^{-2/3}$。 \[ f_Y(y) = f_X(x) \left| \frac{dx}{dy} \right| = 2(1 - y^{1/3}) \cdot \frac{1}{3} y^{-2/3} = \frac{2}{3} \left( y^{-2/3} - y^{-1/3} \right) \] **答案：** \[ f_Y(y) = \begin{cases} \frac{2}{3} \left( y^{-2/3} - y^{-1/3} \right) & 0 \leq y \leq 1 \\ 0 & \text{其他} \end{cases} \]

解析

本题主要考查了概率密度函数的性质、概率的计算以及随机变量函数的概率密度求解。

（1）求常数 $\(k$

根据概率密度函数的性质，对于概率密度函数 $f(x(x)$，有 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = 1$。
已知 $f(x)=\begin{cases}k(1 - x),&0\leq x\leq 1\\0,&\text{其他}\end{cases}$，则：
$\[\begin{align*}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx&=\int_{0}^{1} k(1 - x)dx\\&=k\int_{0}^{}^{1} (1 - x)dx\\&=k\left[x - \frac{x^2}{2}\right]_0^1\\&=k\left(1 - \times 1 - \frac{1^2}{2} - (0 - \frac{0^2}{2})\right)\\&=k\left(1 - \frac{1}{2}\right)\\&=\frac{k}{2}\end{align*}$
因为 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = 1$，所以 $\frac{k}{2} = 1$，解得 $k = 2$。

（2）求 $P\left\{X > \frac{1}{2}\right\}$

根据概率的计算公式，$P\left\{X > \frac{1}{2}\right\}=\int_{\frac{12}^{+\infty} f(x)dx$。
由于 $f(x)$ 在 $x > 1$ 时为 \(0，所以： $\begin{align*} P\left\{X > \frac{1}{2}\right\}&=\int_{\frac{12}^{1} 2(1 - x)dx\\ &=2\int_{\frac12}^{1} (1 - x)dx\\ &=2\left[x - \frac{x^2}{2}\right]_{\frac12}^1\\ &=2\left[\left((1 - \frac{1^2}{2}) - (\frac{1}{2} - \frac{(\frac{1}{2})^2}{2}))\right)\\ &=2\left(\frac{1}{2} - (\frac{1}{2} - \frac{1}{8})\right)\\ &=2\left(\frac{1}{2} - \frac{3}{8}\right)\\ &=2\times\frac{1}{8}\\ &=\frac{1}{4} \end{align*}$ ## （3）求随机变量函数 $Y = X^3$ 的概率密度 $f_Y(y)$
设 $y = x^3$，则 $x = y^{\frac{1}{3}}$，对 $x$ 关于 $y$ 求导，根据求导公式为 $(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$，可得 $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{3}y^{-\frac{2}{3}}$。
根据随机变量函数的概率密度公式 $f_Y(y) = f_X(x)\left|\frac{dx}{dy}\right|$，已知 $f_X(x)=\begin{cases}2(1 - x),&0\leq x\leq 1\\0,&\text{其他}\end{cases}$，将 $x = y^{\frac{1}{3}}$ 代入可得：
当 $0\leq y\leq 1$ 时，$f_Y(y) = 2(1 - y^{\frac{1}{3}})\cdot\frac{1}{3}y^{-\frac{2}{3}}=\frac{2}{3}(y^{-\frac{2}{3}} - y^{-\frac{1}{3}})$；
当 $y < 0$ 或 $y > 1$ 时，$f_X(x) = 0$，所以 $f_Y(y) = 0$。
综上，$f_Y(y)=\begin{cases}\frac{2}{3}(y^{-\frac{2}{3}} - y^{-\frac{1}{3}}}),&0\leq y\leq 1\\0,&\text{其他}\end{cases}$。