题目
若se为随机变量,se为常数,则数学期望se 。A ) 对 B ) 错
若
为随机变量,
为常数,则数学期望
。
A ) 对
B ) 错
题目解答
答案
本题考察随机变量的期望的性质,期望实质就是随机变量的平均数,故当随机变量
整体放大
倍时,
的期望也随之放大
倍,即
,
∴题中结论是正确的,
∴本题答案为A。
解析
考查要点:本题主要考查随机变量数学期望的线性性质,特别是标量乘法对期望的影响。
解题核心思路:数学期望具有线性性质,即对于常数$a$和随机变量$X$,有$E(aX) = aE(X)$。关键在于理解标量乘法作用于随机变量时,其期望值也会同比例放大。
破题关键点:
- 明确数学期望的定义:随机变量的加权平均值。
- 掌握数学期望的线性性质:$E(aX + b) = aE(X) + b$,其中$a$为常数,$b$为常数项。
- 题目中等式$E(aX) = aE(X)$是上述性质的直接应用,因此结论正确。
数学期望的标量乘法性质:
设$X$为随机变量,$a$为常数,则数学期望满足:
$E(aX) = aE(X).$
推导过程:
- 定义出发:
数学期望$E(X)$定义为$\sum x_i p_i$(离散型)或$\int x f(x) dx$(连续型),其中$x_i$或$x$为随机变量取值,$p_i$或$f(x)$为对应概率。 - 标量乘法作用:
若随机变量$X$被常数$a$放大,则新随机变量$aX$的取值为$a x_i$(离散型)或$a x$(连续型)。 - 计算新期望:
$E(aX) = \sum (a x_i) p_i = a \sum x_i p_i = aE(X) \quad \text{(离散型)},$
$E(aX) = \int a x f(x) dx = a \int x f(x) dx = aE(X) \quad \text{(连续型)}.$ - 结论:
无论$X$是离散型还是连续型,均有$E(aX) = aE(X)$,因此题目中的等式成立。