5/6 单选题若A=}x&1&11&x&11&1&x，且r(A)=2，则x=（）.A. -3B. -1C. -2D. 1

本题考查矩阵的秩的概念以及行列式的计算。解题思路是根据矩阵的秩为$2$，可知矩阵的行列式的值为$0$，先求出矩阵$A$的行列式，令其等于$0$，解出$x$的值，再对$x$的值进行检验，确保矩阵的秩确实为$2$。

步骤一：计算矩阵$A$的行列式$\vert A\vert$

已知$A=\begin{bmatrix}x&1&1\\1&x&1\\1&1&x\end{bmatrix}$，根据三阶行列式的计算公式$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}$，可得：
$\begin{align*}\vert A\vert&=x\begin{vmatrix}x&1\\1&x\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}1&1\\1&x\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}1&x\\1&1\end{vmatrix}\\&=x(x^2 - 1) - 1\times(x - 1) + 1\times(1 - x)\\&=x^3 - x - (x - 1) + (1 - x)\\&=x^3 - x - x + 1 + 1 - x\\&=x^3 - 3x + 2\end{align*}$
对$x^3 - 3x + 2$进行因式分解：
$\begin{align*}x^3 - 3x + 2&=x^3 - x - 2x + 2\\&=x(x^2 - 1) - 2(x - 1)\\&=x(x - 1)(x + 1) - 2(x - 1)\\&=(x - 1)[x(x + 1) - 2]\\&=(x - 1)(x^2 + x - 2)\\&=(x - 1)(x - 1)(x + 2)\\&=(x - 1)^2(x + 2)\end{align*}$

步骤二：令$\vert A\vert = 0$，解出$x$的值

由$(x - 1)^2(x + 2)=0$，可得$x - 1 = 0$或$x + 2 = 0$，即$x = 1$或$x = -2$。

步骤三：对$x$的值进行检验

• 当$x = 1$时，$A=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}$，此时矩阵$A$的所有行都相同，矩阵的秩$r(A)=1$，不符合$r(A)=2$的条件，舍去。
• 当$x = -2$时，$A=\begin{bmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{bmatrix}$，对矩阵$A$进行初等行变换：
  $A=\begin{bmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{bmatrix}\xrightarrow[]{r_1\leftrightarrow r_2}\begin{bmatrix}1&-2&1\\-2&1&1\\1&1&-2\end{bmatrix}\xrightarrow[]{r_2+2r_1,r_3-r_1}\begin{bmatrix}1&-2&1\\0&-3&3\\0&3&-3\end{bmatrix}\xrightarrow[]{r_3+r_2}\begin{bmatrix}1&-2&1\\0&-3&3\\0&0&0\end{bmatrix}$
  此时矩阵$A$的非零行有$2$行，所以$r(A)=2$，符合条件。