8.已知直线L过点M_(0)(-1,0,4)且与直线L_(1):{}x+2y-z=0,x+2y+2z+4=0.垂直，又与平面pi:3x-4y+z-10=0平行，求直线L的方程.

本题考查直线方程的求解，关键在于根据直线与直线垂直、直线与平面平行的条件求出直线$L$的方向向量，再结合直线所过的点写出直线方程。具体步骤如下：

1. 求直线$L_1$的方向向量$\mathbf{s}_1$：
   • 已知直线$L_1$由两平面$\left\{\begin{matrix}x + 2y - z = 0\\x + 2y + 2z + 4 = 0\end{matrix}\right.$相交而成，两平面的法向量分别为$\mathbf{n}_1=(1, 2, -1)$和$\mathbf{n}_2=(1, 2, 2)$。
   • 根据向量叉积的性质，直线$L_1$的方向向量$\mathbf{s}_1$等于两平面法向量的叉积，即$\mathbf{s}_1 = \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2$。
   • 设$\mathbf{s}_1=(x,y,z)$，根据向量叉积公式$\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$，$\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$，$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}=\mathbf{i}(a_2b_3 - a_3b_2)-\mathbf{j}(a_1b_3 - a_3b_1)+\mathbf{k}(a_1b_2 - a_2b_1)$，可得：
     $\mathbf{s}_1=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\1&2&-1\\1&2&2\end{vmatrix}=\mathbf{i}(2\times2 - (-1)\times2)-\mathbf{j}(1\times2 - (-1)\times1)+\mathbf{k}(1\times2 - 2\times1)$
     $=\mathbf{i}(4 + 2)-\mathbf{j}(2 + 1)+\mathbf{k}(2 - 2)=6\mathbf{i}-3\mathbf{j}+0\mathbf{k}=(6, -3, 0)$
2. 求平面$\pi$的法向量$\mathbf{n}$：
   • 对于平面$\pi:3x - 4y + z - 10 = 0$，其法向量$\mathbf{n}=(3, -4, 1)$。
3. 求直线$L$的方向向量$\mathbf{s}$：
   • 因为直线$L$与直线$L_1$垂直且与平面$\pi$平行，所以直线$L$的方向向量$\mathbf{s}$既垂直于$\mathbf{s}_1$又垂直于$\mathbf{n}$，则$\mathbf{s}=\mathbf{s}_1\times\mathbf{n}$。
   • 设$\mathbf{s}=(x_1,y_1,z_1)$，同样根据向量叉积公式可得：
     $\mathbf{s}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\6&-3&0\\3&-4&1\end{vmatrix}=\mathbf{i}((-3)\times1 - 0\times(-4))-\mathbf{j}(6\times1 - 0\times3)+\mathbf{k}(6\times(-4) - (-3)\times3)$
     $=\mathbf{i}(-3 - 0)-\mathbf{j}(6 - 0)+\mathbf{k}(-24 + 9)=-3\mathbf{i}-6\mathbf{j}-15\mathbf{k}=(-3, -6, -15)$
   • 为了简化计算，可将方向向量$\mathbf{s}$化为$(1, 2, 5)$（因为方向向量的非零倍数仍为方向向量）。
4. 写出直线$L$的方程：
   • 已知直线$L$过点$M_0(-1, 0, 4)$，方向向量为$(1, 2, 5)$。
   • 根据直线的对称式方程$\frac{x - x_0}{m}=\frac{y - y_0}{n}=\frac{z - z_0}{p}$（其中$(x_0,y_0,z_0)$为直线上一点，$(m,n,p)$为直线的方向向量），可得直线$L$的方程为$\frac{x + 1}{1}=\frac{y - 0}{2}=\frac{z - 4}{5}$，即$\frac{x + 1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z - 4}{5}$。