某种单色平行光垂直入射在宽度a=0.150 mm的单缝上,缝后放一个焦距f=500 mm的凸透镜,在透镜的焦平面上,若测得中央明条纹两侧的两个第三级暗条纹之间的距离9.00mm,则入射光的波长[]。A. 550 nmB. 450 nmC. 600 nmD. 500 nm

本题考查单缝衍射中暗条纹位置的计算，关键是利用暗条纹公式推导波长。

核心知识点

单缝衍射的暗条纹条件为：
$a\sin\theta = k\lambda$
其中：

• $a$ 为缝宽，
• $\theta$ 为衍射角，
• $k$ 为暗条纹级数（$k=1,2,3,\dots$），
• $\lambda$ 为入射光波长。

关键推导

由于衍射角 $\theta$ 很小（$\sin\theta\approx\tan\theta$），且暗条纹在透镜焦平面上的位置 $x$ 满足 $\tan\theta=\frac{x}{f}$（$f$ 为透镜焦距），代入暗条纹条件得：
$a\frac{x}{f}=k\lambda \implies x=\frac{k\lambda f}{a}$

中央明纹两侧第三级暗纹的距离

中央明纹两侧的第三级暗纹（$k=3$ 和 $k=-3$）对称分布，它们之间的距离为：
$\Delta x = x_3 - x_{-3} = \frac{3\lambda f}{a} - \left(-\frac{3\lambda f}{a}\right) = \frac{6\lambda f}{a}$

代入数据计算波长

已知：

• $a=0.150\,\text{mm}=0.150\times10^{-3}\,\text{m}$，
• $f=500\,\text{mm}=0.5\,\text{m}$，
• $\Delta x=9.00\,\text{mm}=9.00\times10^{-3}\,\text{m}$，

代入公式 $\Delta x=\frac{6\lambda f}{a}$，解得：
$\lambda=\frac{a\Delta x}{6f}$

代入数值：
$\lambda=\frac{0.150\times10^{-3}\times9.00\times10^{-3}}{6\times0.5}=450\times10^{-9}\,\text{m}=450\,\text{nm}$