题目

16.单选题(4分)已知向量α，β满足α=}01-1,则()A α^Tβ^T=-1B αβ^T=-1C αβ=-1D α^Tβ=-1

16.单选题(4分) 已知向量α，β满足α=$\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$,β=$\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}$,则() A α$^{T}$β$^{T}$=-1 B αβ$^{T}$=-1 C αβ=-1 D α$^{T}$β=-1

题目解答

答案

已知向量 $\alpha = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$，$\beta = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$，我们需要判断选项中关于 $\alpha$ 和 $\beta$ 的运算结果。 首先，计算 $\alpha^T \beta$： \[ \alpha^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad \beta = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \] \[ \alpha^T \beta = 0 \times 0 + 1 \times 1 + (-1) \times 2 = 0 + 1 - 2 = -1 \] 因此，$\alpha^T \beta = -1$，选项 D 正确。 接下来，分析其他选项： - 选项 A：$\alpha^T \beta^T$ 是一个 $1 \times 3$ 矩阵与 $1 \times 3$ 矩阵的乘法，不符合维度要求，排除。 - 选项 B：$\alpha \beta^T$ 是一个 $3 \times 1$ 矩阵与 $1 \times 3$ 矩阵的乘法，结果为 $3 \times 3$ 矩阵，不可能等于 $-1$，排除。 - 选项 C：$\alpha \beta$ 是两个 $3 \times 1$ 矩阵的乘法，不符合维度要求，排除。 综上，只有选项 D 正确。 答案：D. $\alpha^T \beta = -1$

解析

本题考查向量的转置与点积运算。关键在于理解不同运算的定义及维度匹配规则：

  1. 点积（内积）：两个向量转置后相乘（$\alpha^T \beta$），结果为标量；
  2. 外积：列向量与行向量相乘（$\alpha \beta^T$），结果为矩阵；
  3. 维度匹配：矩阵乘法要求前一矩阵的列数等于后一矩阵的行数。

选项分析

选项 D：$\alpha^T \beta = -1$

  1. 计算点积：
    $\alpha^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad \beta = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
    $\alpha^T \beta = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 = 0 + 1 - 2 = -1$
    结果正确。

选项 A：$\alpha^T \beta^T$

  • $\alpha^T$ 和 $\beta^T$ 均为 $1 \times 3$ 行向量，无法进行矩阵乘法（列数 $\neq$ 行数），排除。

选项 B：$\alpha \beta^T$

  • $\alpha$ 是 $3 \times 1$ 列向量，$\beta^T$ 是 $1 \times 3$ 行向量，乘积为 $3 \times 3$ 矩阵，不可能等于标量 $-1$，排除。

选项 C：$\alpha \beta$

  • 两个 $3 \times 1$ 列向量无法直接相乘（列数 $\neq$ 行数），排除。