5.设存在0<theta<1,使得arcsin x=(x)/(sqrt(1-(theta x)^2)),-1le xle 1,则lim_(xto0)theta=____.
题目解答
答案
将等式 $\arcsin x = \frac{x}{\sqrt{1 - (\theta x)^2}}$ 在 $x = 0$ 附近展开。
泰勒展开得：
$\arcsin x \approx x + \frac{x^3}{6}, \quad \frac{x}{\sqrt{1 - (\theta x)^2}} \approx x + \frac{\theta^2 x^3}{2}.$
比较 $x^3$ 的系数，得：
$\frac{1}{6} = \frac{\theta^2}{2} \implies \theta^2 = \frac{1}{3} \implies \theta = \frac{\sqrt{3}}{3}.$
由于 $\theta$ 为常数，$\lim_{x \to 0} \theta = \theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
答案： $\boxed{\frac{\sqrt{3}}{3}}$
解析
考查要点：本题主要考查泰勒展开的应用及极限的计算，需要将两边的函数在$x=0$附近展开到足够高的阶数，通过比较系数确定$\theta$的值。
解题核心思路：
- 泰勒展开：将$\arcsin x$和$\frac{x}{\sqrt{1-(\theta x)^2}}$分别展开到$x^3$项。
- 系数比较：通过比较两边$x^3$项的系数，建立方程求解$\theta$。
- 极限结论：由于$\theta$在$x \to 0$时趋于常数，直接取解得的$\theta$值。
破题关键点：
- 正确展开两边的泰勒多项式，尤其注意分母的二项式展开形式。
- 忽略高阶小项，仅保留到$x^3$项以简化计算。
- 验证$\theta$的取值范围，确保结果符合题目条件。
将等式$\arcsin x = \frac{x}{\sqrt{1-(\theta x)^2}}$在$x=0$附近展开：
-
展开$\arcsin x$：
$\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + o(x^3).$ -
展开$\frac{x}{\sqrt{1-(\theta x)^2}}$：
利用二项式展开$\frac{1}{\sqrt{1-a}} \approx 1 + \frac{a}{2} + \cdots$（当$a \to 0$时），得：
$\frac{x}{\sqrt{1-(\theta x)^2}} = x \left(1 + \frac{(\theta x)^2}{2} + \cdots \right) = x + \frac{\theta^2 x^3}{2} + o(x^3).$ -
比较$x^3$项系数：
左边$\arcsin x$的$x^3$系数为$\frac{1}{6}$，右边为$\frac{\theta^2}{2}$，故有：
$\frac{1}{6} = \frac{\theta^2}{2} \implies \theta^2 = \frac{1}{3} \implies \theta = \frac{\sqrt{3}}{3}.$ -
验证$\theta$范围：
$\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577$，满足$0 < \theta < 1$。