题目
9.求直线 ) x+y+3z=0 x-y-z=0 . "与平面 x-y-z+1=0 的夹角.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定直线的方向向量
为了找到直线的方向向量，我们需要解方程组 $\left \{ \begin{matrix} x+y+3z=0\\ x-y-z=0\end{matrix} \right.$。我们可以通过消元法来解这个方程组。将两个方程相加，得到 $2x+2z=0$，即 $x=-z$。将 $x=-z$ 代入第二个方程，得到 $-z-y-z=0$，即 $y=-2z$。因此，直线的方向向量可以表示为 $\vec{d} = (-1, -2, 1)$。
步骤 2：确定平面的法向量
平面 $x-y-z+1=0$ 的法向量为 $\vec{n} = (1, -1, -1)$。
步骤 3：计算直线与平面的夹角
直线与平面的夹角 $\varphi$ 可以通过直线的方向向量 $\vec{d}$ 和平面的法向量 $\vec{n}$ 的夹角来计算。直线与平面的夹角 $\varphi$ 与直线的方向向量 $\vec{d}$ 和平面的法向量 $\vec{n}$ 的夹角 $\theta$ 之间的关系为 $\varphi = 90^\circ - \theta$。因此，我们首先计算 $\theta$，然后得到 $\varphi$。
$$
\cos \theta = \frac{\vec{d} \cdot \vec{n}}{|\vec{d}| |\vec{n}|} = \frac{(-1) \cdot 1 + (-2) \cdot (-1) + 1 \cdot (-1)}{\sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 1^2} \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} = \frac{0}{\sqrt{6} \sqrt{3}} = 0
$$
因此，$\theta = 90^\circ$，所以 $\varphi = 90^\circ - 90^\circ = 0^\circ$。
为了找到直线的方向向量，我们需要解方程组 $\left \{ \begin{matrix} x+y+3z=0\\ x-y-z=0\end{matrix} \right.$。我们可以通过消元法来解这个方程组。将两个方程相加，得到 $2x+2z=0$，即 $x=-z$。将 $x=-z$ 代入第二个方程，得到 $-z-y-z=0$，即 $y=-2z$。因此，直线的方向向量可以表示为 $\vec{d} = (-1, -2, 1)$。
步骤 2：确定平面的法向量
平面 $x-y-z+1=0$ 的法向量为 $\vec{n} = (1, -1, -1)$。
步骤 3：计算直线与平面的夹角
直线与平面的夹角 $\varphi$ 可以通过直线的方向向量 $\vec{d}$ 和平面的法向量 $\vec{n}$ 的夹角来计算。直线与平面的夹角 $\varphi$ 与直线的方向向量 $\vec{d}$ 和平面的法向量 $\vec{n}$ 的夹角 $\theta$ 之间的关系为 $\varphi = 90^\circ - \theta$。因此，我们首先计算 $\theta$，然后得到 $\varphi$。
$$
\cos \theta = \frac{\vec{d} \cdot \vec{n}}{|\vec{d}| |\vec{n}|} = \frac{(-1) \cdot 1 + (-2) \cdot (-1) + 1 \cdot (-1)}{\sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 1^2} \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} = \frac{0}{\sqrt{6} \sqrt{3}} = 0
$$
因此，$\theta = 90^\circ$，所以 $\varphi = 90^\circ - 90^\circ = 0^\circ$。