题目

已知随机变量的概率密度为，则的概率密度函数为( ). A.B.C.D.

已知随机变量 $X$ 的概率密度为 $f_X(x)$ ，则 $Y=-3X+8$ 的概率密度函数为( ).

A. $-\frac{1}{3}f_x(-\frac{y-8}{3})$

B. $\frac{1}{3}f_x(-\frac{y-8}{3})$

C. $-\frac{1}{3}f_x(-\frac{y+8}{3})$

D. $\frac{1}{3}f_x(-\frac{y+8}{3})$

题目解答

答案

根据题意知，因为随机变量 $X$ 的概率密度为 $f_X(x)$ ，所以 $F_X(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^xf_X(t)dt$ ，

所以 $F_{Y}(y)=P(Y \leq y)=P\{-3X+8 \leq y\} =P\left\{X\geqslant \frac{8-y}{3}\right\}=1-P\left\{X<\frac{8-y}{3}\right\}$ ，即 $F_Y(y)=1-P\left\{X<\frac{8-y}{3}\right\}=1-F_X\left(\frac{8-y}{3}\right)=1-\int_{-\infty}^{\frac{8-y}{3}}f_x(t)dt$ ，

因为 $f_{X}(y)=F_{X}'(y),又f_{X}(x)=F_{X}'(x)$ ，

所以 $f_Y(y)=F_Y'(y)=\left[1-F_X\left(\frac{8-y}{3}\right)\right]'=\frac{1}{3}f_X\left(\frac{8-y}{3}\right)$ ，即 $f_Y(y)=\frac{1}{3}f_X\left(-\frac{y-8}{3}\right)$ .

故选：B.

解析

步骤 1：定义随机变量的分布函数
随机变量$X$的概率密度函数为$f(x)$，则$X$的分布函数$F_X(x)$定义为$F_X(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt$。

步骤 2：求随机变量$Y$的分布函数
随机变量$Y = -3X + 8$，则$Y$的分布函数$F_Y(y)$定义为$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(-3X + 8 \leq y) = P(X \geq \frac{8-y}{3})$。因为$P(X \geq \frac{8-y}{3}) = 1 - P(X < \frac{8-y}{3}) = 1 - F_X(\frac{8-y}{3})$，所以$F_Y(y) = 1 - F_X(\frac{8-y}{3})$。

步骤 3：求随机变量$Y$的概率密度函数
$Y$的概率密度函数$f_Y(y)$是$F_Y(y)$的导数，即$f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \frac{d}{dy} [1 - F_X(\frac{8-y}{3})] = -\frac{d}{dy} F_X(\frac{8-y}{3})$。根据链式法则，$f_Y(y) = -\frac{d}{dy} F_X(\frac{8-y}{3}) = -\frac{d}{d(\frac{8-y}{3})} F_X(\frac{8-y}{3}) \cdot \frac{d(\frac{8-y}{3})}{dy} = -f_X(\frac{8-y}{3}) \cdot (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} f_X(\frac{8-y}{3})$。