已知随机事件 A、B、C 两两独立，则 A、B、C 相互独立的充要条件是（ ）A. AB 与 ABC 独立B. AB 与 AC 独立C. AB 与 overline(C) 独立D. Aoverline(B) 与 Aoverline(C) 独立

我们来逐步分析这个题目。

题目回顾：

已知随机事件 $ A $、$ B $、$ C $ 两两独立，问：
$ A $、$ B $、$ C $ 相互独立 的充要条件是哪一个选项？

选项：

A. $ AB $ 与 $ ABC $ 独立
B. $ AB $ 与 $ AC $ 独立
C. $ AB $ 与 $ \overline{C} $ 独立
D. $ A\overline{B} $ 与 $ A\overline{C} $ 独立

第一步：理解“两两独立”与“相互独立”的区别

• 两两独立：指任意两个事件独立，即：
  $P(AB) = P(A)P(B),\quad P(AC) = P(A)P(C),\quad P(BC) = P(B)P(C)$

• 相互独立（三个事件）：除了两两独立外，还要求：
  $P(ABC) = P(A)P(B)P(C)$

也就是说，两两独立 + $ P(ABC) = P(A)P(B)P(C) $ 才能推出三者相互独立。

> 所以，本题的条件是：已知两两独立，要使三者相互独立，充要条件就是 $ P(ABC) = P(A)P(B)P(C) $。

我们的任务是：从四个选项中找出哪一个等价于 $ P(ABC) = P(A)P(B)P(C) $，在已知两两独立的前提下。

第二步：逐个分析选项

选项 A：$ AB $ 与 $ ABC $ 独立

两个事件独立的定义是：
$P(AB \cap ABC) = P(AB) \cdot P(ABC)$

但注意：$ AB \cap ABC = ABC $，因为 $ ABC \subseteq AB $

所以：
$P(AB \cap ABC) = P(ABC)$

因此独立条件为：
$P(ABC) = P(AB) \cdot P(ABC)$

我们来分析这个等式：
$P(ABC) = P(AB) \cdot P(ABC) \Rightarrow P(ABC)(1 - P(AB)) = 0$

这个等式成立的条件是：

• 要么 $ P(ABC) = 0 $
• 要么 $ P(AB) = 1 $

但这并不是我们想要的充要条件 $ P(ABC) = P(A)P(B)P(C) $，因为这个选项只在某些特殊情况下成立，不能推广。

所以 A 不是充要条件。

选项 B：$ AB $ 与 $ AC $ 独立

即：
$P(AB \cap AC) = P(AB) \cdot P(AC)$

注意：$ AB \cap AC = ABC \cap A = ABC $？不对！

实际上：
$AB \cap AC = A \cap B \cap A \cap C = A \cap B \cap C = ABC$

所以：
$P(AB \cap AC) = P(ABC)$

而由两两独立已知：

• $ P(AB) = P(A)P(B) $
• $ P(AC) = P(A)P(C) $

所以独立条件为：
$P(ABC) = P(AB) \cdot P(AC) = P(A)P(B) \cdot P(A)P(C) = P(A)^2 P(B)P(C)$

而我们希望的是：
$P(ABC) = P(A)P(B)P(C)$

所以这个条件变成：
$P(A)P(B)P(C) = P(A)^2 P(B)P(C) \Rightarrow P(A) = 1 \quad (\text{假设 } P(B)P(C) \ne 0)$

这只有在 $ P(A) = 1 $ 时才成立，显然不是普遍成立的充要条件。

所以 B 不对。

选项 C：$ AB $ 与 $ \overline{C} $ 独立

即：
$P(AB \cap \overline{C}) = P(AB) \cdot P(\overline{C})$

我们来分析左边：
$AB \cap \overline{C} = AB \setminus ABC = AB - ABC \Rightarrow P(AB \cap \overline{C}) = P(AB) - P(ABC)$

右边：
$P(AB) \cdot P(\overline{C}) = P(AB)(1 - P(C))$

所以等式为：
$P(AB) - P(ABC) = P(AB)(1 - P(C))$

化简右边：
$P(AB) - P(AB)P(C)$

所以：
$P(AB) - P(ABC) = P(AB) - P(AB)P(C) \Rightarrow P(ABC) = P(AB)P(C)$

现在，由于已知两两独立，有 $ P(AB) = P(A)P(B) $，代入得：
$P(ABC) = P(A)P(B)P(C)$

这正是三个事件相互独立所要求的第三个条件！

而且这个推导是等价的：

• 从 $ AB $ 与 $ \overline{C} $ 独立 $\Rightarrow P(ABC) = P(A)P(B)P(C) $
• 反过来，如果 $ P(ABC) = P(A)P(B)P(C) $，且两两独立，则上面每一步都可逆，也能推出 $ AB $ 与 $ \overline{C} $ 独立。

所以，在已知两两独立的前提下，$ AB $ 与 $ \overline{C} $ 独立 当且仅当 $ P(ABC) = P(A)P(B)P(C) $，即三者相互独立。

所以 C 是充要条件。

选项 D：$ A\overline{B} $ 与 $ A\overline{C} $ 独立

即：
$P(A\overline{B} \cap A\overline{C}) = P(A\overline{B}) \cdot P(A\overline{C})$

先看左边：
$A\overline{B} \cap A\overline{C} = A \cap \overline{B} \cap \overline{C} = A\overline{B}\overline{C} \Rightarrow P(A\overline{B}\overline{C})$

右边：
$P(A\overline{B}) \cdot P(A\overline{C})$

我们尝试用概率公式展开。

由概率性质：

• $ P(A\overline{B}) = P(A) - P(AB) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)(1 - P(B)) $（由两两独立）
• 同理：$ P(A\overline{C}) = P(A)(1 - P(C)) $

所以右边：
$P(A)(1 - P(B)) \cdot P(A)(1 - P(C)) = P(A)^2 (1 - P(B))(1 - P(C))$

左边：
$P(A\overline{B}\overline{C}) = P(A) - P(AB) - P(AC) + P(ABC) = P(A) - P(A)P(B) - P(A)P(C) + P(ABC) = P(A)\left[1 - P(B) - P(C) + \frac{P(ABC)}{P(A)}\right]$

令两边相等：
$P(A)\left[1 - P(B) - P(C) + \frac{P(ABC)}{P(A)}\right] = P(A)^2 (1 - P(B))(1 - P(C))$

这个等式非常复杂，且不一定能推出 $ P(ABC) = P(A)P(B)P(C) $，也不等价。

举个反例即可说明 D 不是充要条件。

所以 D 不正确。

结论：

在已知 $ A、B、C $ 两两独立的前提下，它们相互独立的充要条件是：
$P(ABC) = P(A)P(B)P(C)$

而选项 C 的条件 $ AB $ 与 $ \overline{C} $ 独立，等价于这个式子。

最终答案：

$\boxed{\text{C}}$