题目
9.设 (X)=E(Y)=2, D(X)=1 (Y)=4, 且 rho xy=0.5, 则 |X-Y|geqslant 6 -|||-≤ __ .
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 $X-Y$ 的期望和方差
由于 $E(X)=E(Y)=2$，则 $E(X-Y)=E(X)-E(Y)=2-2=0$。
方差 $D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)$，其中 $Cov(X,Y)=\rho_{xy}\sqrt{D(X)D(Y)}$。
代入已知条件，得 $D(X-Y)=1+4-2\times0.5\times\sqrt{1\times4}=5-2=3$。
步骤 2：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式表明，对于任意随机变量 $Z$ 和任意正数 $a$，有 $P\{|Z-E(Z)|\geq a\}\leq\frac{D(Z)}{a^2}$。
将 $Z=X-Y$，$E(Z)=0$，$D(Z)=3$，$a=6$ 代入，得 $P\{|X-Y|\geq 6\}\leq\frac{3}{6^2}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$。
由于 $E(X)=E(Y)=2$，则 $E(X-Y)=E(X)-E(Y)=2-2=0$。
方差 $D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)$，其中 $Cov(X,Y)=\rho_{xy}\sqrt{D(X)D(Y)}$。
代入已知条件，得 $D(X-Y)=1+4-2\times0.5\times\sqrt{1\times4}=5-2=3$。
步骤 2：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式表明，对于任意随机变量 $Z$ 和任意正数 $a$，有 $P\{|Z-E(Z)|\geq a\}\leq\frac{D(Z)}{a^2}$。
将 $Z=X-Y$，$E(Z)=0$，$D(Z)=3$，$a=6$ 代入，得 $P\{|X-Y|\geq 6\}\leq\frac{3}{6^2}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$。