题目
11.设 approx N(1,1) approx N(1,4), X与Y相互独立,证明 ((X-1))^2+((Y-1))^2|4approx (x)^2(2).
题目解答
答案
解析
步骤 1：标准化变量
由于 $X\sim N(1,1)$ 和 $Y\sim N(1,4)$，我们可以将 $X$ 和 $Y$ 标准化。具体来说，$X-1\sim N(0,1)$，因为 $X$ 的均值为 1，方差为 1。同样，$(Y-1)/2\sim N(0,1)$，因为 $Y$ 的均值为 1，方差为 4，所以 $(Y-1)/2$ 的方差为 1。
步骤 2：平方和的分布
根据卡方分布的定义，如果 $Z\sim N(0,1)$，则 $Z^2\sim \chi^2(1)$。因此，$(X-1)^2\sim \chi^2(1)$ 和 $((Y-1)/2)^2\sim \chi^2(1)$。由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，$(X-1)^2$ 和 $((Y-1)/2)^2$ 也相互独立。
步骤 3：卡方分布的性质
卡方分布具有可加性，即如果 $Z_1\sim \chi^2(k_1)$ 和 $Z_2\sim \chi^2(k_2)$ 是独立的，则 $Z_1+Z_2\sim \chi^2(k_1+k_2)$。因此，$(X-1)^2+((Y-1)/2)^2\sim \chi^2(1+1)=\chi^2(2)$。
由于 $X\sim N(1,1)$ 和 $Y\sim N(1,4)$，我们可以将 $X$ 和 $Y$ 标准化。具体来说，$X-1\sim N(0,1)$，因为 $X$ 的均值为 1，方差为 1。同样，$(Y-1)/2\sim N(0,1)$，因为 $Y$ 的均值为 1，方差为 4，所以 $(Y-1)/2$ 的方差为 1。
步骤 2：平方和的分布
根据卡方分布的定义，如果 $Z\sim N(0,1)$，则 $Z^2\sim \chi^2(1)$。因此，$(X-1)^2\sim \chi^2(1)$ 和 $((Y-1)/2)^2\sim \chi^2(1)$。由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，$(X-1)^2$ 和 $((Y-1)/2)^2$ 也相互独立。
步骤 3：卡方分布的性质
卡方分布具有可加性，即如果 $Z_1\sim \chi^2(k_1)$ 和 $Z_2\sim \chi^2(k_2)$ 是独立的，则 $Z_1+Z_2\sim \chi^2(k_1+k_2)$。因此，$(X-1)^2+((Y-1)/2)^2\sim \chi^2(1+1)=\chi^2(2)$。