题目
19.下列结论正确的有 ()-|||-A.x0是f(x)的驻点,则一定是 f (x)的极值点-|||-B.x0是f(x)的极值点,则一定是f(x)的驻点-|||-C.f(x)在x0处可导,则一定在x 0处连续-|||-D.f(x)在x0处连续,则一定在x 0处可导
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解驻点和极值点的定义
驻点是指函数的一阶导数为零的点，即 $f'(x_0) = 0$。极值点是指函数在该点附近取得局部最大值或最小值的点。
步骤 2：分析选项A
选项A说如果 $x_0$ 是 $f(x)$ 的驻点，则一定是 $f(x)$ 的极值点。这不正确，因为驻点不一定是极值点。例如，函数 $f(x) = x^3$ 在 $x=0$ 处的导数为零，但 $x=0$ 不是极值点。
步骤 3：分析选项B
选项B说如果 $x_0$ 是 $f(x)$ 的极值点，则一定是 $f(x)$ 的驻点。这也不正确，因为极值点不一定是驻点。例如，函数 $f(x) = |x|$ 在 $x=0$ 处取得极小值，但 $x=0$ 不是驻点。
步骤 4：分析选项C
选项C说如果 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则一定在 $x_0$ 处连续。这是正确的，因为可导性是连续性的充分条件。如果函数在某点可导，那么它在该点一定是连续的。
步骤 5：分析选项D
选项D说如果 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，则一定在 $x_0$ 处可导。这是不正确的，因为连续性是可导性的必要条件，但不是充分条件。例如，函数 $f(x) = |x|$ 在 $x=0$ 处连续，但不可导。
驻点是指函数的一阶导数为零的点，即 $f'(x_0) = 0$。极值点是指函数在该点附近取得局部最大值或最小值的点。
步骤 2：分析选项A
选项A说如果 $x_0$ 是 $f(x)$ 的驻点，则一定是 $f(x)$ 的极值点。这不正确，因为驻点不一定是极值点。例如，函数 $f(x) = x^3$ 在 $x=0$ 处的导数为零，但 $x=0$ 不是极值点。
步骤 3：分析选项B
选项B说如果 $x_0$ 是 $f(x)$ 的极值点，则一定是 $f(x)$ 的驻点。这也不正确，因为极值点不一定是驻点。例如，函数 $f(x) = |x|$ 在 $x=0$ 处取得极小值，但 $x=0$ 不是驻点。
步骤 4：分析选项C
选项C说如果 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则一定在 $x_0$ 处连续。这是正确的，因为可导性是连续性的充分条件。如果函数在某点可导，那么它在该点一定是连续的。
步骤 5：分析选项D
选项D说如果 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，则一定在 $x_0$ 处可导。这是不正确的，因为连续性是可导性的必要条件，但不是充分条件。例如，函数 $f(x) = |x|$ 在 $x=0$ 处连续，但不可导。