题目

2 设A，B为两个随机事件，P(A)=0.7，P(B)=0.5，P(A-B)=0.3，求 P(AB)，P(B-A)，P(bar(B)|bar(A)).

2 设A，B为两个随机事件，P(A)=0.7，P(B)=0.5，P(A-B)=0.3，求 P(AB)，P(B-A)，P($\bar{B}$|$\bar{A}$).

题目解答

答案

1. **求 $P(AB)$** 由 $P(A-B) = P(A) - P(AB)$，代入已知值： \[ 0.3 = 0.7 - P(AB) \implies P(AB) = 0.4 \] 2. **求 $P(B-A)$** 由 $P(B-A) = P(B) - P(AB)$，代入已知值： \[ P(B-A) = 0.5 - 0.4 = 0.1 \] 3. **求 $P(\overline{B}|\overline{A})$** 由条件概率公式： \[ P(\overline{B}|\overline{A}) = \frac{P(\overline{A} \cap \overline{B})}{P(\overline{A})} = \frac{1 - P(A \cup B)}{1 - P(A)} \] 其中， \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.7 + 0.5 - 0.4 = 0.8 \] 故 \[ P(\overline{B}|\overline{A}) = \frac{1 - 0.8}{1 - 0.7} = \frac{0.2}{0.3} = \frac{2}{3} \] **答案：** \[ \boxed{ \begin{array}{ll} P(AB) = 0.4 \\ P(B-A) = 0.1 \\ P(\overline{B}|\overline{A}) = \frac{2}{3} \end{array} } \]

解析

考查要点：本题主要考查事件运算的概率公式、条件概率的计算，以及利用概率的加法公式和补集性质进行推导的能力。

解题核心思路：

  1. 事件差的概率：利用公式 $P(A-B) = P(A) - P(AB)$ 直接求解 $P(AB)$；
  2. 对称事件差的概率：通过 $P(B-A) = P(B) - P(AB)$ 计算；
  3. 条件概率：通过补集关系 $P(\overline{B}|\overline{A}) = \frac{P(\overline{A} \cap \overline{B})}{P(\overline{A})}$，结合 $P(A \cup B)$ 的加法公式间接求解。

破题关键点：

  • 事件差公式的灵活应用；
  • 条件概率公式与补集运算的结合使用；
  • 概率加法公式的准确运用。

1. 求 $P(AB)$

根据事件差的概率公式：
$P(A-B) = P(A) - P(AB)$
代入已知条件 $P(A-B) = 0.3$ 和 $P(A) = 0.7$：
$0.3 = 0.7 - P(AB) \implies P(AB) = 0.4$

2. 求 $P(B-A)$

利用对称事件差的概率公式：
$P(B-A) = P(B) - P(AB)$
代入 $P(B) = 0.5$ 和 $P(AB) = 0.4$：
$P(B-A) = 0.5 - 0.4 = 0.1$

3. 求 $P(\overline{B}|\overline{A})$

步骤1：计算 $P(A \cup B)$

根据概率加法公式：
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.7 + 0.5 - 0.4 = 0.8$

步骤2：计算 $P(\overline{A} \cap \overline{B})$

利用补集性质：
$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.8 = 0.2$

步骤3：计算 $P(\overline{A})$

$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.7 = 0.3$

步骤4：代入条件概率公式

$P(\overline{B}|\overline{A}) = \frac{P(\overline{A} \cap \overline{B})}{P(\overline{A})} = \frac{0.2}{0.3} = \frac{2}{3}$