题目
某一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成，在整个系统运行期间，每个部件损坏的概率均为0.1，为了使整个系统起作用，必须至少有85个部件正常工作.请结合所学知识，求使整个系统起作用的概率.( Phi ( (5)/(3))=0.9525 )
某一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成，在整个系统运行期间，每个部件损坏的概率均为0.1，为了使整个系统起作用，必须至少有85个部件正常工作.请结合所学知识，求使整个系统起作用的概率.( $ \Phi ( \frac {5}{3})=0.9525$ )
题目解答
答案
设 $X$ 表示正常工作的部件数，$X$ 服从二项分布 $B(100, 0.9)$。期望 $E(X) = 90$，方差 $D(X) = 9$。由中心极限定理，当 $n$ 充分大时，$X$ 近似服从正态分布 $N(90, 9)$。
标准化得：
\[
Z = \frac{X - 90}{3}
\]
求 $P(X \geq 85)$：
\[
P\left(Z \geq \frac{85 - 90}{3}\right) = P(Z \geq -1.67) = 1 - P(Z < -1.67) = \Phi(1.67) = 0.9525
\]
**答案：**
\[
\boxed{0.9525}
\]
解析
步骤 1：定义随机变量
设 $X$ 表示正常工作的部件数，$X$ 服从二项分布 $B(100, 0.9)$，因为每个部件正常工作的概率为 $0.9$，损坏的概率为 $0.1$，且各部件相互独立。
步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的性质，$X$ 的期望 $E(X) = np = 100 \times 0.9 = 90$，方差 $D(X) = np(1-p) = 100 \times 0.9 \times 0.1 = 9$。
步骤 3：应用中心极限定理
当 $n$ 充分大时，$X$ 近似服从正态分布 $N(90, 9)$。为了求 $P(X \geq 85)$，我们首先将 $X$ 标准化，得到 $Z = \frac{X - 90}{3}$，其中 $Z$ 服从标准正态分布 $N(0, 1)$。
步骤 4：计算概率
求 $P(X \geq 85)$，即求 $P(Z \geq \frac{85 - 90}{3}) = P(Z \geq -1.67)$。根据标准正态分布的性质，$P(Z \geq -1.67) = 1 - P(Z < -1.67) = \Phi(1.67)$，其中 $\Phi$ 是标准正态分布的累积分布函数。根据题目给出的 $\Phi(\frac{5}{3}) = 0.9525$，可以推断 $\Phi(1.67) = 0.9525$。
设 $X$ 表示正常工作的部件数，$X$ 服从二项分布 $B(100, 0.9)$，因为每个部件正常工作的概率为 $0.9$，损坏的概率为 $0.1$，且各部件相互独立。
步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的性质，$X$ 的期望 $E(X) = np = 100 \times 0.9 = 90$，方差 $D(X) = np(1-p) = 100 \times 0.9 \times 0.1 = 9$。
步骤 3：应用中心极限定理
当 $n$ 充分大时，$X$ 近似服从正态分布 $N(90, 9)$。为了求 $P(X \geq 85)$，我们首先将 $X$ 标准化，得到 $Z = \frac{X - 90}{3}$，其中 $Z$ 服从标准正态分布 $N(0, 1)$。
步骤 4：计算概率
求 $P(X \geq 85)$，即求 $P(Z \geq \frac{85 - 90}{3}) = P(Z \geq -1.67)$。根据标准正态分布的性质，$P(Z \geq -1.67) = 1 - P(Z < -1.67) = \Phi(1.67)$，其中 $\Phi$ 是标准正态分布的累积分布函数。根据题目给出的 $\Phi(\frac{5}{3}) = 0.9525$，可以推断 $\Phi(1.67) = 0.9525$。