题目

求y=sqrt(4x^2)+xln(2+(1)/(x))的斜渐近线方程.

求$y=\sqrt{4x^{2}+xln(2+\frac{1}{x})}$的斜渐近线方程.

题目解答

答案

为了求函数 $ y = \sqrt{4x^2 + x \ln \left(2 + \frac{1}{x}\right)} $ 的斜渐近线方程，我们需要确定当 $ x \to \infty $ 时，函数 $ y $ 的行为。斜渐近线的一般形式是 $ y = ax + b $，其中 $ a $ 和 $ b $ 是常数。我们可以通过以下步骤来找到 $ a $ 和 $ b $： 1. **计算 $ a $：** \[ a = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4x^2 + x \ln \left(2 + \frac{1}{x}\right)}}{x} \] 在根号内提取 $ x^2 $： \[ a = \lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{4x^2 + x \ln \left(2 + \frac{1}{x}\right)}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \sqrt{4 + \frac{\ln \left(2 + \frac{1}{x}\right)}{x}} \] 当 $ x \to \infty $ 时， $ \frac{1}{x} \to 0 $，所以 $ \ln \left(2 + \frac{1}{x}\right) \to \ln 2 $。因此， $ \frac{\ln \left(2 + \frac{1}{x}\right)}{x} \to 0 $。Thus, \[ a = \sqrt{4 + 0} = 2 \] 2. **计算 $ b $：** \[ b = \lim_{x \to \infty} (y - ax) = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{4x^2 + x \ln \left(2 + \frac{1}{x}\right)} - 2x \right) \] 为了简化这个极限，我们乘以共轭表达式： \[ b = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{4x^2 + x \ln \left(2 + \frac{1}{x}\right)} - 2x \right) \cdot \frac{\sqrt{4x^2 + x \ln \left(2 + \frac{1}{x}\right)} + 2x}{\sqrt{4x^2 + x \ln \left(2 + \frac{1}{x}\right)} + 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(4x^2 + x \ln \left(2 + \frac{1}{x}\right)) - 4x^2}{\sqrt{4x^2 + x \ln \left(2 + \frac{1}{x}\right)} + 2x} \] 简化分子： \[ b = \lim_{x \to \infty} \frac{x \ln \left(2 + \frac{1}{x}\right)}{\sqrt{4x^2 + x \ln \left(2 + \frac{1}{x}\right)} + 2x} \] 在分母中提取 $ x $： \[ b = \lim_{x \to \infty} \frac{x \ln \left(2 + \frac{1}{x}\right)}{x \left( \sqrt{4 + \frac{\ln \left(2 + \frac{1}{x}\right)}{x}} + 2 \right)} = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln \left(2 + \frac{1}{x}\right)}{\sqrt{4 + \frac{\ln \left(2 + \frac{1}{x}\right)}{x}} + 2} \] 当 $ x \to \infty $ 时， $ \frac{1}{x} \to 0 $，所以 $ \ln \left(2 + \frac{1}{x}\right) \to \ln 2 $。因此, \[ b = \frac{\ln 2}{\sqrt{4 + 0} + 2} = \frac{\ln 2}{4} \ln 2 \] 因此，函数 $ y = \sqrt{4x^2 + x \ln \left(2 + \frac{1}{x}\right)} $ 的斜渐近线方程是 $\boxed{y = 2x + \frac{\ln 2}{4}}$.

解析

斜渐近线的求解关键在于确定当 $x \to \infty$ 时函数的线性近似形式 $y = ax + b$。

  1. 计算斜率 $a$：通过极限 $a = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x}$，需将函数表达式中的主导项提取并化简。
  2. 计算截距 $b$：通过极限 $b = \lim_{x \to \infty} (y - ax)$，需通过分母有理化等技巧处理根号表达式。
    核心思路：利用泰勒展开或近似展开简化复杂表达式，抓住主导项和高阶小项。

1. 计算斜率 $a$

$a = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4x^2 + x \ln \left(2 + \frac{1}{x}\right)}}{x}$
提取根号内的 $x^2$：
$a = \lim_{x \to \infty} \sqrt{4 + \frac{\ln \left(2 + \frac{1}{x}\right)}{x}}$
当 $x \to \infty$，$\frac{1}{x} \to 0$，故 $\ln \left(2 + \frac{1}{x}\right) \to \ln 2$，而 $\frac{\ln 2}{x} \to 0$，因此：
$a = \sqrt{4 + 0} = 2$

2. 计算截距 $b$

$b = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{4x^2 + x \ln \left(2 + \frac{1}{x}\right)} - 2x \right)$
乘以共轭表达式：
$b = \lim_{x \to \infty} \frac{x \ln \left(2 + \frac{1}{x}\right)}{\sqrt{4x^2 + x \ln \left(2 + \frac{1}{x}\right)} + 2x}$
分母提取 $x$：
$b = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln \left(2 + \frac{1}{x}\right)}{\sqrt{4 + \frac{\ln \left(2 + \frac{1}{x}\right)}{x}} + 2}$
当 $x \to \infty$，$\ln \left(2 + \frac{1}{x}\right) \to \ln 2$，分母趋近于 $\sqrt{4} + 2 = 4$，故：
$b = \frac{\ln 2}{4}$