设函数 y=y(x) 由方程 ^xy=x+y 所确定,求 dfrac (dy)(dx)(|)_(x)=0

考查要点：本题主要考查隐函数求导法的应用，涉及指数函数的导数、乘积法则以及代数运算中的代入求值。

解题核心思路：

1. 确定初始条件：当 $x=0$ 时，代入原方程求出对应的 $y(0)$ 值。
2. 隐函数求导：对原方程两边关于 $x$ 求导，注意使用链式法则和乘积法则。
3. 解方程求导数：将导数项 $\dfrac{dy}{dx}$ 整理到方程一侧，解出表达式后代入 $x=0$ 和 $y(0)$ 的值。

破题关键点：

• 正确处理指数函数的导数，尤其是复合函数的链式法则。
• 代入初始条件时，注意 $2^{0 \cdot y(0)} = 1$ 的简化。

步骤1：确定初始条件
当 $x=0$ 时，原方程变为：
$2^{0 \cdot y(0)} = 0 + y(0) \implies 1 = y(0) \implies y(0) = 1.$

步骤2：对原方程两边求导
原方程 $2^{xy} = x + y$，对 $x$ 求导：

• 左边求导：
  $\dfrac{d}{dx} \left(2^{xy}\right) = 2^{xy} \cdot \ln 2 \cdot \left(y + x \dfrac{dy}{dx}\right).$
• 右边求导：
  $\dfrac{d}{dx} (x + y) = 1 + \dfrac{dy}{dx}.$

步骤3：整理方程求 $\dfrac{dy}{dx}$
将两边导数相等：
$2^{xy} \ln 2 \cdot \left(y + x \dfrac{dy}{dx}\right) = 1 + \dfrac{dy}{dx}.$
展开并移项：
$2^{xy} \ln 2 \cdot y + 2^{xy} \ln 2 \cdot x \dfrac{dy}{dx} = 1 + \dfrac{dy}{dx}.$
将含 $\dfrac{dy}{dx}$ 的项移到左边：
$2^{xy} \ln 2 \cdot x \dfrac{dy}{dx} - \dfrac{dy}{dx} = 1 - 2^{xy} \ln 2 \cdot y.$
提取公因子 $\dfrac{dy}{dx}$：
$\dfrac{dy}{dx} \left(2^{xy} \ln 2 \cdot x - 1\right) = 1 - 2^{xy} \ln 2 \cdot y.$
解得：
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1 - 2^{xy} \ln 2 \cdot y}{2^{xy} \ln 2 \cdot x - 1}.$

步骤4：代入 $x=0$ 和 $y=1$
分子：
$1 - 2^{0 \cdot 1} \ln 2 \cdot 1 = 1 - \ln 2.$
分母：
$2^{0 \cdot 1} \ln 2 \cdot 0 - 1 = -1.$
因此：
$\dfrac{dy}{dx}\bigg|_{x=0} = \dfrac{1 - \ln 2}{-1} = \ln 2 - 1.$