题目
以下是计算Jf xy^2dxdy的步骤,其中D由曲线-|||-y=4x 与直线 x=1 围成。请选出正确步骤-|||-()-|||-a. iint x(y)^2dxdy=(int )_(0)^1dx(int )_(0)^4xx(y)^2dy-|||-D-|||-b. iint x(y)^2dxdy=(int )_(0)^1dx(int )_(0)^4x(y)^2dy-|||-D-|||-C. dfrac (64)(3)(int )_(0)^1(x)^4dx d. dfrac (64)(3)(int )_(0)^1xdx e. 64/15 f. dfrac (32)(3)-|||-A. a-c-f-|||-B. a-c-e-|||-C. b-c-f-|||-D. b-c-e
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
根据题目，积分区域D由曲线y=4x和直线x=1围成。因此，x的取值范围是0到1，y的取值范围是0到4x。
步骤 2：写出二重积分的表达式
根据步骤1，二重积分的表达式为：
$\iint x{y}^{2}dxdy={\int }_{0}^{1}dx{\int }_{0}^{4x}x{y}^{2}dy$
步骤 3：计算内层积分
计算内层积分${\int }_{0}^{4x}x{y}^{2}dy$，得到：
${\int }_{0}^{4x}x{y}^{2}dy = x{\int }_{0}^{4x}{y}^{2}dy = x[\dfrac{1}{3}{y}^{3}]_{0}^{4x} = \dfrac{64}{3}{x}^{4}$
步骤 4：计算外层积分
将步骤3的结果代入外层积分，得到：
${\int }_{0}^{1}dx{\int }_{0}^{4x}x{y}^{2}dy = {\int }_{0}^{1}\dfrac{64}{3}{x}^{4}dx = \dfrac{64}{3}{\int }_{0}^{1}{x}^{4}dx$
步骤 5：计算最终结果
计算外层积分${\int }_{0}^{1}{x}^{4}dx$，得到：
${\int }_{0}^{1}{x}^{4}dx = [\dfrac{1}{5}{x}^{5}]_{0}^{1} = \dfrac{1}{5}$
因此，最终结果为：
$\dfrac{64}{3} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{64}{15}$
根据题目，积分区域D由曲线y=4x和直线x=1围成。因此，x的取值范围是0到1，y的取值范围是0到4x。
步骤 2：写出二重积分的表达式
根据步骤1，二重积分的表达式为：
$\iint x{y}^{2}dxdy={\int }_{0}^{1}dx{\int }_{0}^{4x}x{y}^{2}dy$
步骤 3：计算内层积分
计算内层积分${\int }_{0}^{4x}x{y}^{2}dy$，得到：
${\int }_{0}^{4x}x{y}^{2}dy = x{\int }_{0}^{4x}{y}^{2}dy = x[\dfrac{1}{3}{y}^{3}]_{0}^{4x} = \dfrac{64}{3}{x}^{4}$
步骤 4：计算外层积分
将步骤3的结果代入外层积分，得到：
${\int }_{0}^{1}dx{\int }_{0}^{4x}x{y}^{2}dy = {\int }_{0}^{1}\dfrac{64}{3}{x}^{4}dx = \dfrac{64}{3}{\int }_{0}^{1}{x}^{4}dx$
步骤 5：计算最终结果
计算外层积分${\int }_{0}^{1}{x}^{4}dx$，得到：
${\int }_{0}^{1}{x}^{4}dx = [\dfrac{1}{5}{x}^{5}]_{0}^{1} = \dfrac{1}{5}$
因此，最终结果为：
$\dfrac{64}{3} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{64}{15}$