题目
3.证明: (int )_(x)^1dfrac (dt)(1+{t)^2}=(int )_(1)^dfrac (1{x)}dfrac (dt)(1+{t)^2}(xgt 0),
题目解答
答案
解析
步骤 1：引入变量替换
设 $u = \frac{1}{t}$，则 $du = -\frac{1}{t^2}dt$，即 $dt = -\frac{1}{u^2}du$。
步骤 2：变换积分限
当 $t = x$ 时，$u = \frac{1}{x}$；当 $t = 1$ 时，$u = 1$。
步骤 3：代入变量替换
将 $u = \frac{1}{t}$ 和 $dt = -\frac{1}{u^2}du$ 代入原积分，得到
${\int }_{x}^{1}\dfrac {dt}{1+{t}^{2}} = {\int }_{\frac{1}{x}}^{1}\dfrac {-\frac{1}{u^2}du}{1+\frac{1}{u^2}} = {\int }_{\frac{1}{x}}^{1}\dfrac {-du}{u^2+1}$。
步骤 4：调整积分限
由于积分限需要从大到小，所以将积分限调整为 ${\int }_{1}^{\frac{1}{x}}\dfrac {du}{1+{u}^{2}}$。
设 $u = \frac{1}{t}$，则 $du = -\frac{1}{t^2}dt$，即 $dt = -\frac{1}{u^2}du$。
步骤 2：变换积分限
当 $t = x$ 时，$u = \frac{1}{x}$；当 $t = 1$ 时，$u = 1$。
步骤 3：代入变量替换
将 $u = \frac{1}{t}$ 和 $dt = -\frac{1}{u^2}du$ 代入原积分，得到
${\int }_{x}^{1}\dfrac {dt}{1+{t}^{2}} = {\int }_{\frac{1}{x}}^{1}\dfrac {-\frac{1}{u^2}du}{1+\frac{1}{u^2}} = {\int }_{\frac{1}{x}}^{1}\dfrac {-du}{u^2+1}$。
步骤 4：调整积分限
由于积分限需要从大到小，所以将积分限调整为 ${\int }_{1}^{\frac{1}{x}}\dfrac {du}{1+{u}^{2}}$。