题目
(15)y'+ycosx=e^-sinx；
(15)$y'+ycosx=e^{-sinx}$；
题目解答
答案
原方程为一阶线性微分方程，其中 $ P(x) = \cos x $，$ Q(x) = e^{-\sin x} $。
通解公式为：
\[ y = e^{-\int P(x) \, dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \, dx + C \right) \]
计算得：
\[ \int P(x) \, dx = \sin x \]
代入公式：
\[ y = e^{-\sin x} \left( \int e^{-\sin x} e^{\sin x} \, dx + C \right) = e^{-\sin x} (x + C) \]
**答案：**
\[ \boxed{y = e^{-\sin x} (x + C)} \]
解析
步骤 1：识别方程类型
给定的方程 $y' + y\cos x = e^{-\sin x}$ 是一阶线性微分方程，其中 $P(x) = \cos x$，$Q(x) = e^{-\sin x}$。
步骤 2：应用通解公式
一阶线性微分方程的通解公式为：\[ y = e^{-\int P(x) \, dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \, dx + C \right) \]
步骤 3：计算积分
首先计算 $\int P(x) \, dx = \int \cos x \, dx = \sin x$。然后代入通解公式：\[ y = e^{-\sin x} \left( \int e^{-\sin x} e^{\sin x} \, dx + C \right) \]
步骤 4：简化表达式
由于 $e^{-\sin x} e^{\sin x} = 1$，所以积分简化为 $\int 1 \, dx = x$。因此，通解为：\[ y = e^{-\sin x} (x + C) \]
给定的方程 $y' + y\cos x = e^{-\sin x}$ 是一阶线性微分方程，其中 $P(x) = \cos x$，$Q(x) = e^{-\sin x}$。
步骤 2：应用通解公式
一阶线性微分方程的通解公式为：\[ y = e^{-\int P(x) \, dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \, dx + C \right) \]
步骤 3：计算积分
首先计算 $\int P(x) \, dx = \int \cos x \, dx = \sin x$。然后代入通解公式：\[ y = e^{-\sin x} \left( \int e^{-\sin x} e^{\sin x} \, dx + C \right) \]
步骤 4：简化表达式
由于 $e^{-\sin x} e^{\sin x} = 1$，所以积分简化为 $\int 1 \, dx = x$。因此，通解为：\[ y = e^{-\sin x} (x + C) \]