用导数的定义证明:cosx)=-sinx.

考查要点：本题要求利用导数的定义证明$\cos x$的导数为$-\sin x$，主要考查对导数定义的理解以及三角函数和角公式的应用，同时需要掌握关键三角函数极限的运用。

解题核心思路：

1. 导数定义：从$\cos(x+h)-\cos x$出发，构造差商并取极限。
2. 三角恒等式：利用$\cos(x+h)=\cos x \cos h - \sin x \sin h$展开分子。
3. 极限拆分：将表达式拆分为两部分，分别应用已知极限$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h -1}{h}=0$和$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}=1$。

破题关键点：

• 正确展开$\cos(x+h)$，避免符号错误。
• 合理拆分表达式，分离出与$\cos x$和$\sin x$相关的项。
• 准确应用极限结果，注意极限运算的顺序和合法性。

根据导数的定义，$\cos x$的导数为：
$\begin{aligned}(\cos x)' &= \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos x}{h} \\&= \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h} \quad \text{（应用和角公式）} \\&= \lim_{h \to 0} \left[ \cos x \cdot \frac{\cos h -1}{h} - \sin x \cdot \frac{\sin h}{h} \right] \quad \text{（提取公因子）} \\&= \cos x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\cos h -1}{h} - \sin x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \quad \text{（极限线性性质）} \\&= \cos x \cdot 0 - \sin x \cdot 1 \quad \text{（代入已知极限结果）} \\&= -\sin x.\end{aligned}$

关键步骤说明：

1. 和角公式展开：$\cos(x+h)$展开为$\cos x \cos h - \sin x \sin h$，确保符号正确。
2. 分子整理：将$\cos(x+h)-\cos x$整理为$\cos x(\cos h -1) - \sin x \sin h$，便于拆分。
3. 极限拆分：利用极限的线性性质，将整体拆分为两部分独立计算。
4. 代入已知极限：直接应用$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h -1}{h}=0$和$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}=1$简化计算。