下列区间中，函数 f(x)= (1)/(2) sin x 可以作为随机变量的概率密度的是(）。 A. [-(pi)/(2), (pi)/(2)]B. [-pi, 0]C. [-2pi, -pi]D. [(pi)/(2), (3pi)/(2)]

为了确定函数 $ f(x) = \frac{1}{2} \sin x $ 可以作为随机变量的概率密度的区间，我们需要检查两个条件： 1. 函数 $ f(x) $ 在区间内非负。 2. 函数 $ f(x) $ 在区间上的积分等于1。 让我们逐步分析每个选项。 **选项A: $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$** 1. 检查 $ f(x) $ 是否非负： - 对于 $ x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $，$\sin x$ 的范围从 $-1$ 到 $1$。因此，$ f(x) = \frac{1}{2} \sin x $ 的范围从 $-\frac{1}{2}$ 到 $\frac{1}{2}$。由于 $ f(x) $ 在这个区间内为负，它不能作为概率密度。 2. 即使我们不检查积分，由于 $ f(x) $ 为负，我们已经知道它不能作为概率密度。但是，为了完整性，让我们计算积分： \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \sin x \, dx = \frac{1}{2} \left[ -\cos x \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left( -\cos \frac{\pi}{2} + \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right) = \frac{1}{2} \left( 0 + 0 \right) = 0 \] 积分不等于1，所以 $ f(x) $ 不能作为概率密度。 **选项B: $\left[-\pi, 0\right]$** 1. 检查 $ f(x) $ 是否非负： - 对于 $ x \in \left[-\pi, 0\right] $，$\sin x$ 的范围从 $-1$ 到 $0$。因此，$ f(x) = \frac{1}{2} \sin x $ 的范围从 $-\frac{1}{2}$ 到 $0$。由于 $ f(x) $ 在这个区间内为负，它不能作为概率密度。 2. 即使我们不检查积分，由于 $ f(x) $ 为负，我们已经知道它不能作为概率密度。但是，为了完整性，让我们计算积分： \[ \int_{-\pi}^{0} \frac{1}{2} \sin x \, dx = \frac{1}{2} \left[ -\cos x \right]_{-\pi}^{0} = \frac{1}{2} \left( -\cos 0 + \cos \left( -\pi \right) \right) = \frac{1}{2} \left( -1 - 1 \right) = -1 \] 积分不等于1，所以 $ f(x) $ 不能作为概率密度。 **选项C: $\left[-2\pi, -\pi\right]$** 1. 检查 $ f(x) $ 是否非负： - 对于 $ x \in \left[-2\pi, -\pi\right] $，$\sin x$ 的范围从 $-1$ 到 $0$。因此，$ f(x) = \frac{1}{2} \sin x $ 的范围从 $-\frac{1}{2}$ 到 $0$。由于 $ f(x) $ 在这个区间内为负，它不能作为概率密度。 2. 即使我们不检查积分，由于 $ f(x) $ 为负，我们已经知道它不能作为概率密度。但是，为了完整性，让我们计算积分： \[ \int_{-2\pi}^{-\pi} \frac{1}{2} \sin x \, dx = \frac{1}{2} \left[ -\cos x \right]_{-2\pi}^{-\pi} = \frac{1}{2} \left( -\cos \left( -\pi \right) + \cos \left( -2\pi \right) \right) = \frac{1}{2} \left( 1 + 1 \right) = 1 \] 积分等于1，但 $ f(x) $ 为负，所以 $ f(x) $ 不能作为概率密度。 **选项D: $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$** 1. 检查 $ f(x) $ 是否非负： - 对于 $ x \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right] $，$\sin x$ 的范围从 $1$ 到 $-1$。因此，$ f(x) = \frac{1}{2} \sin x $ 的范围从 $\frac{1}{2}$ 到 $-\frac{1}{2}$。由于 $ f(x) $ 在这个区间内为负，它不能作为概率密度。 2. 即使我们不检查积分，由于 $ f(x) $ 为负，我们已经知道它不能作为概率密度。但是，为了完整性，让我们计算积分： \[ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \frac{1}{2} \sin x \, dx = \frac{1}{2} \left[ -\cos x \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left( -\cos \frac{3\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( 0 + 0 \right) = 0 \] 积分不等于1，所以 $ f(x) $ 不能作为概率密度。 由于 $ f(x) $ 在所有其他选项中都为负，唯一可能的正确答案是 $ \boxed{C} $ 如果我们考虑积分，但 $ f(x) $ 为负，所以没有选项完全满足两个条件。然而，问题可能有打字错误或特定上下文，但根据给定的条件，没有选项是正确的。根据问题的上下文，如果考虑积分，最接近的正确答案是 $ \boxed{C} $ 但 $ f(x) $ 为负，所以没有选项完全满足两个条件。