题目
18.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在区间(0,1 )上服从均匀分-|||-布,Y的概率密度为-|||-_(x)(y)= {e)^-y/2,ygt 0 0, yleqslant 0+2xa+Y=0, 试求a有实根的概率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求X和Y的联合概率密度
由于X和Y是相互独立的随机变量，X在区间(0,1)上服从均匀分布，Y的概率密度为 ${f}_{Y}(y)=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{2}{e}^{-y/2},y\gt 0\\ 0,y\leqslant 0\end{matrix} \right.$ ，因此X的概率密度为 ${f}_{X}(x)=$ $\left \{ \begin{matrix} 1,0\lt x\lt 1\\ 0,其他\end{matrix} \right.$ 。根据独立随机变量的联合概率密度公式，我们有：
$f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$
步骤 2：计算a有实根的概率
a的二次方程 ${a}^{2}+2Xa+Y=0$ 有实根的充要条件为判别式 $\Delta =4{x}^{2}-4x\geqslant 0$ ，即 ${X}^{2}\geqslant Y$ 。因此，我们需要计算 $P\{ {X}^{2}\geqslant Y\}$ ，即 $P\{ (X,Y)\in G\}$ ，其中G由曲线 $y={x}^{2}$ ，y=0，x=1所围成。
步骤 3：计算概率
根据步骤2中的条件，我们有：
$P({x}^{2}\geqslant {Y}_{1})={\iint }_{f}f(x,y)dxdy={\int }_{0}^{1}dx{\int }_{0}^{{x}^{2}}\dfrac {1}{2}{e}^{-y/2}dy$
$={\int }_{0}^{1}[ -{e}^{-y/2}] {\int }_{0}^{{t}^{2}}dx={\int }_{0}^{1}(1-{e}^{-{x}^{2}/2})dx$
$=1-{\int }_{0}^{1}{e}^{-{x}^{2}/2}dx=1-\sqrt {2\pi }[ \phi (1)-\phi (0)] $
$=1-\sqrt {2\pi }(0.8413-0.5)=0.1445$
由于X和Y是相互独立的随机变量，X在区间(0,1)上服从均匀分布，Y的概率密度为 ${f}_{Y}(y)=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{2}{e}^{-y/2},y\gt 0\\ 0,y\leqslant 0\end{matrix} \right.$ ，因此X的概率密度为 ${f}_{X}(x)=$ $\left \{ \begin{matrix} 1,0\lt x\lt 1\\ 0,其他\end{matrix} \right.$ 。根据独立随机变量的联合概率密度公式，我们有：
$f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$
步骤 2：计算a有实根的概率
a的二次方程 ${a}^{2}+2Xa+Y=0$ 有实根的充要条件为判别式 $\Delta =4{x}^{2}-4x\geqslant 0$ ，即 ${X}^{2}\geqslant Y$ 。因此，我们需要计算 $P\{ {X}^{2}\geqslant Y\}$ ，即 $P\{ (X,Y)\in G\}$ ，其中G由曲线 $y={x}^{2}$ ，y=0，x=1所围成。
步骤 3：计算概率
根据步骤2中的条件，我们有：
$P({x}^{2}\geqslant {Y}_{1})={\iint }_{f}f(x,y)dxdy={\int }_{0}^{1}dx{\int }_{0}^{{x}^{2}}\dfrac {1}{2}{e}^{-y/2}dy$
$={\int }_{0}^{1}[ -{e}^{-y/2}] {\int }_{0}^{{t}^{2}}dx={\int }_{0}^{1}(1-{e}^{-{x}^{2}/2})dx$
$=1-{\int }_{0}^{1}{e}^{-{x}^{2}/2}dx=1-\sqrt {2\pi }[ \phi (1)-\phi (0)] $
$=1-\sqrt {2\pi }(0.8413-0.5)=0.1445$