题目

设[f(x)=lim(x^2n-1+ax^2)/(x (+bx)/若X=1,X=-1均为f(x)的跳跃间断点,则[f(x)=lim(x^2n-1+ax^2)/(x (+bx)/[f(x)=lim(x^2n-1+ax^2)/(x (+bx)/

设 $[f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{x^{2n-1}+ax^2+bx}{x^{2n}+1}]$ 若X=1,X=-1均为f(x)的跳跃间断点,则 $(A)a+b=1,a-b\ne-1(B)a+b=1,a-b=-1$

$(C)a+b\ne1,a-b\ne-1(D)a+b\ne1,a-b=-1$

题目解答

1. 当 ( x = 1 )

将 ( x = 1 ) 代入函数 ( f(x) ) 中：

$[f(1)=\lim_{n\to\infty}\frac{1^{2n-1}+a\cdot1^2+b\cdot1}{1^{2n}+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+a+b}{1+1}=\frac{1+a+b}{2}]$

2. 当 ( x = -1 )

将 ( x = -1 ) 代入函数 ( f(x) ) 中：

$[f(-1)=\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^{2n-1}+a\cdot(-1)^2+b\cdot(-1)}{(-1)^{2n}+1}]$

由于 $((-1)^{2n-1}=-1)和((-1)^{2n}=1)（当(n)$ 为正整数时），我们有：

$[f(-1)=\lim_{n\to\infty}\frac{-1+a-b}{1+1}=\frac{-1+a-b}{2}]$

3. 跳跃间断点的条件

我们知道 ( x = 1 ) 和 ( x = -1 ) 是 ( f(x) ) 的跳跃间断点。跳跃间断点的条件是函数在这些点的左右极限不同。因此我们需要：

$[\frac{1+a+b}{2}\ne\frac{-1+a-b}{2}]$

化简：

$[1+a+b\ne-1+a-b]$

将 ( a ) 和 ( b ) 相关项移到一边：

$[1+a+b\ne-1+a-b\Rightarrow2b\ne-2\Rightarrow b\ne-1]$

4. 确定 ( a + b ) 和 ( a - b )

对于 ( a + b = 1 ) 和 ( a - b = -1 ) 的条件，我们可以检验是否符合条件。代入条件：

如果 ( a + b = 1 ) 和 ( a - b = -1 )：

$[a=\frac{(a+b)+(a-b)}{2}=\frac{1+(-1)}{2}=0]$

$[b=\frac{(a+b)-(a-b)}{2}=\frac{1-(-1)}{2}=1]$

这符合 ( a = 0 ) 和 ( b = 1 )，我们需要检验这些值是否符合不等式条件。

$[\text{左极限}=\frac{1+a+b}{2}=\frac{1+0+1}{2}=1]$

$[\text{右极限}=\frac{-1+a-b}{2}=\frac{-1+0-1}{2}=-1]$

结果显示在 ( x = 1 ) 和 ( x = -1 ) 处的值不同，符合跳跃间断点的条件。

结论

根据以上分析，答案是 (B) ( a + b = 1 ) 且 ( a - b = -1 )。