题目

3.(1915)求极限lim_(xto0)(int_(0)^x[ln(1+t)-t]dt)/(e^x^(3)-1).

3.(1915)求极限$\lim_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x}\left[\ln(1+t)-t\right]dt}{e^{x^{3}}-1}.$

题目解答

答案

令 $ f(x) = \int_{0}^{x} \left[ \ln(1+t) - t \right] dt $，则 $ f'(x) = \ln(1+x) - x $。
由洛必达法则，
$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{e^{x^3} - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{3x^2 e^{x^3}} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - x}{3x^2}$
再次应用洛必达法则，
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x} - 1}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{-x}{6x(1+x)} = -\frac{1}{6}$
或者，利用泰勒展开 $\ln(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2}$，得
$\int_{0}^{x} \left[ \ln(1+t) - t \right] dt \approx -\frac{x^3}{6}$
故原极限为 $-\frac{1}{6}$。

答案： $\boxed{-\frac{1}{6}}$

解析

本题主要考查了洛必达法则以及泰勒展开式在求极限中的应用。解题的关键思路是先判断极限的类型，若为$\frac{0}{0}$型，则可使用洛必达法则对分子分母分别求导来简化极限计算；也可以利用泰勒展开式将函数近似展开，从而简化积分运算后再求极限。

方法一：使用洛必达法则

  1. 首先判断极限类型：
    当$x\to0$时，分子$\int_{0}^{x}[\ln(1 + t) - t]dt$，令$f(x)=\int_{0}^{x}[\ln(1 + t) - t]dt$，则$f(0)=\int_{0}^{0}[\ln(1 + t) - t]dt = 0$；分母$e^{x^{3}} - 1$，当$x\to0$时，$e^{x^{3}} - 1\to e^{0}-1 = 0$，所以该极限是$\frac{0}{0}$型。
  2. 对分子分母分别求导：
    根据变上限积分求导法则，若$F(x)=\int_{a}^{x}g(t)dt$，则$F^\prime(x)=g(x)$，对于$f(x)=\int_{0}^{x}[\ln(1 + t) - t]dt$，其导数$f^\prime(x)=\ln(1 + x) - x$。
    对分母$e^{x^{3}} - 1$求导，根据复合函数求导法则$(e^{u})^\prime=e^{u}\cdot u^\prime$，这里$u = x^{3}$，则$(e^{x^{3}} - 1)^\prime=e^{x^{3}}\cdot 3x^{2}$。
    由洛必达法则可得：
    $\lim_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x}[\ln(1 + t) - t]dt}{e^{x^{3}} - 1}=\lim_{x\to0}\frac{\ln(1 + x) - x}{3x^{2}e^{x^{3}}}$
    当$x\to0$时，$e^{x^{3}}\to e^{0}=1$，所以$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1 + x) - x}{3x^{2}e^{x^{3}}}=\lim_{x\to0}\frac{\ln(1 + x) - x}{3x^{2}}$。
  3. 再次使用洛必达法则：
    对分子$\ln(1 + x) - x$求导，根据求导公式$(\ln(1 + x))^\prime=\frac{1}{1 + x}$，$(x)^\prime = 1$，则$(\ln(1 + x) - x)^\prime=\frac{1}{1 + x}-1$。
    对分母$3x^{2}$求导，$(3x^{2})^\prime = 6x$。
    所以$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1 + x) - x}{3x^{2}}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{1 + x}-1}{6x}$。
    对$\frac{1}{1 + x}-1$进行通分：$\frac{1}{1 + x}-1=\frac{1-(1 + x)}{1 + x}=\frac{-x}{1 + x}$。
    则$\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{1 + x}-1}{6x}=\lim_{x\to0}\frac{-x}{6x(1 + x)}$。
    约去$x$（因为$x\to0$但$x\neq0$）可得：$\lim_{x\to0}\frac{-x}{6x(1 + x)}=\lim_{x\to0}\frac{-1}{6(1 + x)}$。
    当$x\to0$时，$\lim_{x\to0}\frac{-1}{6(1 + x)}=-\frac{1}{6}$。

方法二：使用泰勒展开式

  1. 利用泰勒展开式$\ln(1 + x)=x-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})$（$x\to0$），则$\ln(1 + t)-t=t-\frac{t^{2}}{2}+o(t^{2})-t=-\frac{t^{2}}{2}+o(t^{2})$。
  2. 计算积分：
    $\int_{0}^{x}[\ln(1 + t) - t]dt=\int_{0}^{x}(-\frac{t^{2}}{2}+o(t^{2}))dt$
    根据积分公式$\int t^{n}dt=\frac{t^{n + 1}}{n + 1}+C(n\neq - 1)$，可得：
    $\int_{0}^{x}(-\frac{t^{2}}{2}+o(t^{2}))dt=-\frac{1}{2}\int_{0}^{x}t^{2}dt+\int_{0}^{x}o(t^{2})dt$
    $=-\frac{1}{2}\times\frac{t^{3}}{3}\big|_{0}^{x}+o(x^{3})=-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3})$。
  3. 求极限：
    原极限$\lim_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x}[\ln(1 + t) - t]dt}{e^{x^{3}} - 1}$，当$x\to0$时，$e^{x^{3}} - 1\sim x^{3}$（等价无穷小替换）。
    则$\lim_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x}[\ln(1 + t) - t]dt}{e^{x^{3}} - 1}=\lim_{x\to0}\frac{-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3})}{x^{3}}=\lim_{x\to0}(-\frac{1}{6}+\frac{o(x^{3})}{x^{3}})=-\frac{1}{6}$。