设 f(z) = } (xy)/(x^2 + y^2), & z neq 0, 0, & z = 0, 试证：f(z) 在 z = 0 处不连续。

我们要证明函数
$f(z) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2 + y^2}, & z \neq 0, \\ 0, & z = 0, \end{cases}$
在 $ z = 0 $ 处不连续，其中 $ z = x + iy $，即 $ (x, y) $ 是复平面上的点。

第一步：理解函数的定义

函数 $ f(z) $ 实际上是一个定义在复平面上的实值函数，其值只依赖于 $ x $ 和 $ y $（即 $ z = x + iy $ 的实部和虚部）。

在 $ z \neq 0 $ 时，函数为：
$f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$
在原点 $ (0, 0) $ 处，函数定义为 $ f(0, 0) = 0 $。

我们要判断的是：这个函数在 $ (0, 0) $ 处是否连续？

第二步：回顾连续性的定义

一个函数在某点连续，要求：
$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = f(0, 0)$

即极限存在且等于函数在该点的值。

我们现在已知 $ f(0, 0) = 0 $，所以只需考察极限：
$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{xy}{x^2 + y^2}$
是否存在，且是否等于 0。

如果这个极限不存在，或者存在但不等于 0，那么函数在原点就不连续。

第三步：沿不同路径逼近原点，考察极限是否相同

我们尝试沿不同的路径趋近于 $ (0, 0) $，看极限是否一致。

路径 1：沿 $ x $ 轴趋近，即 $ y = 0 $

此时 $ x \to 0 $，$ y = 0 $，代入函数：
$f(x, 0) = \frac{x \cdot 0}{x^2 + 0^2} = 0$
所以沿 $ x $ 轴趋近时，极限为：
$\lim_{x \to 0} f(x, 0) = 0$

路径 2：沿 $ y $ 轴趋近，即 $ x = 0 $

同理：
$f(0, y) = \frac{0 \cdot y}{0 + y^2} = 0 \Rightarrow \lim_{y \to 0} f(0, y) = 0$

路径 3：沿直线 $ y = x $ 趋近

令 $ y = x $，当 $ x \to 0 $ 时，$ (x, y) \to (0, 0) $

代入函数：
$f(x, x) = \frac{x \cdot x}{x^2 + x^2} = \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}$
所以：
$\lim_{x \to 0} f(x, x) = \frac{1}{2}$

路径 4：沿 $ y = -x $ 趋近

$f(x, -x) = \frac{x \cdot (-x)}{x^2 + (-x)^2} = \frac{-x^2}{2x^2} = -\frac{1}{2} \Rightarrow \lim_{x \to 0} f(x, -x) = -\frac{1}{2}$

第四步：分析极限是否存在

我们发现：

• 沿 $ x $ 轴趋近，极限为 $ 0 $
• 沿 $ y = x $ 趋近，极限为 $ \frac{1}{2} $
• 沿 $ y = -x $ 趋近，极限为 $ -\frac{1}{2} $

由于沿不同路径趋近时极限值不同，说明：
$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{xy}{x^2 + y^2}$
不存在。

第五步：得出结论

由于极限不存在，而 $ f(0, 0) = 0 $，所以：
$\lim_{z \to 0} f(z) \ne f(0)$
（实际上极限不存在，更谈不上等于函数值）

因此，函数 $ f(z) $ 在 $ z = 0 $ 处不连续。

✅ 最终结论：

$\boxed{f(z) \text{ 在 } z = 0 \text{ 处不连续。}}$