题目

对于非齐次线性方程组AX=B，下列命题正确的是A如果方程组AX=B有无穷组解,那么方程组AX=0有非零解B如果方程组AX=B有唯一解,那么方程组AX=0有非零解C如果方程组AX=0只有零解,那么方程组AX=B无解D如果方程组AX=0有非零解,那么方程组AX=B有无穷组解

对于非齐次线性方程组AX=B，下列命题正确的是

A如果方程组AX=B有无穷组解,那么方程组AX=0有非零解

B如果方程组AX=B有唯一解,那么方程组AX=0有非零解C如果方程组AX=0只有零解,那么方程组AX=B无解

D如果方程组AX=0有非零解,那么方程组AX=B有无穷组解

题目解答

答案

答案为：A

  1. 若AX=B有无穷组解，则R(A|B)=R(A)<n，则AX=0有非零解；
  2. AX=B有唯一解,则R(A|B)=R(A)=n，则AX=0有零解；
  3. AX=0只有零解，则R(A)=n，无法确定R(A|B)，R(A)的关系，所以无法确定AX=B是否有解；
  4. AX=0有非零解，则R(A)<n，同样，无法确定R(A|B)，R(A)的关系，所以无法确定AX=B是否有解；

解析

步骤 1：理解非齐次线性方程组AX=B的解的性质
非齐次线性方程组AX=B的解的性质与系数矩阵A的秩R(A)和增广矩阵(A|B)的秩R(A|B)有关。如果R(A|B)=R(A)，则方程组有解；如果R(A|B)≠R(A)，则方程组无解。当方程组有解时，如果R(A)=n（n为未知数的个数），则方程组有唯一解；如果R(A)
步骤 2：分析选项A
如果方程组AX=B有无穷组解，那么R(A|B)=R(A)0，即方程组AX=0有非零解。

步骤 3：分析选项B
如果方程组AX=B有唯一解，那么R(A|B)=R(A)=n。此时，方程组AX=0的解空间的维数为n-R(A)=0，即方程组AX=0只有零解。

步骤 4：分析选项C
如果方程组AX=0只有零解，那么R(A)=n。此时，无法确定R(A|B)与R(A)的关系，因此无法确定方程组AX=B是否有解。

步骤 5：分析选项D
如果方程组AX=0有非零解，那么R(A)