int dfrac (dx)(sqrt {1+{e)^x}}

考查要点：本题主要考查不定积分的计算，特别是通过变量替换法处理含有指数函数和根式的积分。

解题核心思路：
观察被积函数$\dfrac{1}{\sqrt{1+e^x}}$，分母中的根式结构提示我们进行变量替换，将复杂的表达式转化为更易处理的形式。关键在于选择适当的替换变量，使得积分简化为基本积分形式。

破题关键点：

• 令$t = \sqrt{1 + e^x}$，通过求导得到$dt$与$dx$的关系，从而将原积分转化为关于$t$的有理分式积分。
• 利用部分分式分解或直接积分法，求出关于$t$的积分后，再代回原变量$x$。

步骤1：变量替换
令$t = \sqrt{1 + e^x}$，则$t^2 = 1 + e^x$，解得$e^x = t^2 - 1$。
对$t$求导得：
$dt = \frac{e^x}{2\sqrt{1 + e^x}} dx = \frac{t^2 - 1}{2t} dx \implies dx = \frac{2t}{t^2 - 1} dt.$

步骤2：改写积分
将原积分中的$dx$和$\sqrt{1 + e^x}$用$t$表示：
$\int \frac{dx}{\sqrt{1 + e^x}} = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{2t}{t^2 - 1} dt = \int \frac{2}{t^2 - 1} dt.$

步骤3：积分计算
利用分式分解$\dfrac{2}{t^2 - 1} = \dfrac{1}{t - 1} - \dfrac{1}{t + 1}$，积分得：
$\int \frac{2}{t^2 - 1} dt = \ln|t - 1| - \ln|t + 1| + C = \ln\left|\frac{t - 1}{t + 1}\right| + C.$

步骤4：回代变量
将$t = \sqrt{1 + e^x}$代回，得到最终结果：
$\ln\left|\frac{\sqrt{1 + e^x} - 1}{\sqrt{1 + e^x} + 1}\right| + C.$