一、选择题（本大题共7小题，每小题2分，总计14分） 1、设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，且AB=E，其中E为m阶单位矩阵，则（）A. r(A)=r(B)=m;B. r(A)=m,r(B)=n;C. r(A)=n,r(B)=m;D. r(A)=r(B)=n.

考查要点：本题主要考查矩阵乘积的秩的性质，以及矩阵秩与维度之间的关系。

解题核心思路：

1. 利用矩阵乘积的秩的性质：$\text{rank}(AB) \leq \min\{\text{rank}(A), \text{rank}(B)\}$。
2. 结合单位矩阵的秩：$AB = E$ 说明 $\text{rank}(AB) = m$，从而推导出 $\text{rank}(A)$ 和 $\text{rank}(B)$ 的下限。
3. 分析矩阵维度对秩的限制：根据矩阵的形状（行数和列数），确定 $\text{rank}(A)$ 和 $\text{rank}(B)$ 的上限，最终确定唯一可能的选项。

破题关键点：

• 关键结论：$\text{rank}(A) = m$ 且 $\text{rank}(B) = m$，需同时满足秩的下限和维度限制。

步骤1：分析矩阵乘积的秩

已知 $AB = E$，其中 $E$ 是 $m$ 阶单位矩阵，因此 $\text{rank}(AB) = \text{rank}(E) = m$。
根据矩阵乘积的秩的性质：
$\text{rank}(AB) \leq \min\{\text{rank}(A), \text{rank}(B)\}$
代入 $\text{rank}(AB) = m$，得：
$m \leq \min\{\text{rank}(A), \text{rank}(B)\}$
即 $\text{rank}(A) \geq m$ 且 $\text{rank}(B) \geq m$。

步骤2：分析矩阵维度对秩的限制

• 矩阵 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵：其秩的最大值为 $\min\{m, n\}$，即 $\text{rank}(A) \leq \min\{m, n\}$。
• 矩阵 $B$ 是 $n \times m$ 矩阵：其秩的最大值为 $\min\{n, m\}$，即 $\text{rank}(B) \leq \min\{n, m\}$。

结合步骤1的结论，需满足：
$m \leq \min\{\text{rank}(A), \text{rank}(B)\} \leq \min\{m, n\}$
要使不等式成立，必须满足 $m \leq n$，此时 $\min\{m, n\} = m$，因此：
$\text{rank}(A) = m \quad \text{且} \quad \text{rank}(B) = m$

步骤3：验证选项

• 选项A：$\text{rank}(A) = \text{rank}(B) = m$，符合推导结果。
• 其余选项均不满足秩的下限或维度限制。