题目
四、简答题（共5题，50.0分）17.（简答题，10.0分）若矩阵 A=(}1&-1&2&11&1&3&x2&y&0&-1) 的秩为2，求x,y。(10分)
四、简答题（共5题，50.0分）
17.（简答题，10.0分）
若矩阵 $A=\left(\begin{matrix}1&-1&2&1\\1&1&3&x\\2&y&0&-1\end{matrix}\right)$ 的秩为2，求x,y。(10分)
题目解答
答案
为了确定矩阵 $ A = \left(\begin{matrix}1&-1&2&1\\1&1&3&x\\2&y&0&-1\end{matrix}\right) $ 的秩为2时的 $ x $ 和 $ y $ 的值，我们需要确保矩阵的行向量线性相关，即矩阵的任意一个3阶子式都为零。
首先，我们计算矩阵 $ A $ 的一个3阶子式，例如由前两列和前两行以及第四列组成的子式：
\[
\begin{vmatrix}
1 & -1 & 1 \\
1 & 1 & x \\
2 & y & -1
\end{vmatrix}
\]
使用行列式展开，我们得到：
\[
1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & x \\ y & -1 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & x \\ 2 & -1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & y \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1 - xy) + 1 \cdot (-1 - 2x) + 1 \cdot (y - 2) = -1 - xy - 1 - 2x + y - 2 = -4 - xy - 2x + y
\]
由于矩阵的秩为2，这个行列式必须为零：
\[
-4 - xy - 2x + y = 0 \quad \text{(1)}
\]
接下来，我们计算另一个3阶子式，例如由前两列和前两行以及第三列组成的子式：
\[
\begin{vmatrix}
1 & -1 & 2 \\
1 & 1 & 3 \\
2 & y & 0
\end{vmatrix}
\]
使用行列式展开，我们得到：
\[
1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ y & 0 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & y \end{vmatrix} = 1 \cdot (0 - 3y) + 1 \cdot (0 - 6) + 2 \cdot (y - 2) = -3y - 6 + 2y - 4 = -y - 10
\]
由于矩阵的秩为2，这个行列式也必须为零：
\[
-y - 10 = 0 \quad \text{(2)}
\]
解方程 (2)，我们得到：
\[
y = -10
\]
将 $ y = -10 $ 代入方程 (1)，我们得到：
\[
-4 - x(-10) - 2x + (-10) = 0
\]
简化后，我们得到：
\[
-4 + 10x - 2x - 10 = 0 \implies 8x - 14 = 0 \implies 8x = 14 \implies x = \frac{7}{4}
\]
因此， $ x $ 和 $ y $ 的值为：
\[
\boxed{\left( \frac{7}{4}, -10 \right)}
\]
解析
步骤 1：计算矩阵的3阶子式
为了确保矩阵 $A$ 的秩为2，我们需要计算矩阵的3阶子式，并确保它们的值为0。首先，我们计算由前两列和前两行以及第四列组成的子式：
\[ \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & x \\ 2 & y & -1 \end{vmatrix} \]
步骤 2：展开行列式
使用行列式展开，我们得到：
\[ 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & x \\ y & -1 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & x \\ 2 & -1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & y \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1 - xy) + 1 \cdot (-1 - 2x) + 1 \cdot (y - 2) = -1 - xy - 1 - 2x + y - 2 = -4 - xy - 2x + y \]
步骤 3：设置行列式为0
由于矩阵的秩为2，这个行列式必须为零：
\[ -4 - xy - 2x + y = 0 \quad \text{(1)} \]
步骤 4：计算另一个3阶子式
接下来，我们计算另一个3阶子式，例如由前两列和前两行以及第三列组成的子式：
\[ \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & y & 0 \end{vmatrix} \]
步骤 5：展开行列式
使用行列式展开，我们得到：
\[ 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ y & 0 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & y \end{vmatrix} = 1 \cdot (0 - 3y) + 1 \cdot (0 - 6) + 2 \cdot (y - 2) = -3y - 6 + 2y - 4 = -y - 10 \]
步骤 6：设置行列式为0
由于矩阵的秩为2，这个行列式也必须为零：
\[ -y - 10 = 0 \quad \text{(2)} \]
步骤 7：求解方程(2)
解方程 (2)，我们得到：
\[ y = -10 \]
步骤 8：代入方程(1)
将 $ y = -10 $ 代入方程 (1)，我们得到：
\[ -4 - x(-10) - 2x + (-10) = 0 \]
步骤 9：简化方程
简化后，我们得到：
\[ -4 + 10x - 2x - 10 = 0 \implies 8x - 14 = 0 \implies 8x = 14 \implies x = \frac{7}{4} \]
为了确保矩阵 $A$ 的秩为2，我们需要计算矩阵的3阶子式，并确保它们的值为0。首先，我们计算由前两列和前两行以及第四列组成的子式：
\[ \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & x \\ 2 & y & -1 \end{vmatrix} \]
步骤 2：展开行列式
使用行列式展开，我们得到：
\[ 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & x \\ y & -1 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & x \\ 2 & -1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & y \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1 - xy) + 1 \cdot (-1 - 2x) + 1 \cdot (y - 2) = -1 - xy - 1 - 2x + y - 2 = -4 - xy - 2x + y \]
步骤 3：设置行列式为0
由于矩阵的秩为2，这个行列式必须为零：
\[ -4 - xy - 2x + y = 0 \quad \text{(1)} \]
步骤 4：计算另一个3阶子式
接下来，我们计算另一个3阶子式，例如由前两列和前两行以及第三列组成的子式：
\[ \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & y & 0 \end{vmatrix} \]
步骤 5：展开行列式
使用行列式展开，我们得到：
\[ 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ y & 0 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & y \end{vmatrix} = 1 \cdot (0 - 3y) + 1 \cdot (0 - 6) + 2 \cdot (y - 2) = -3y - 6 + 2y - 4 = -y - 10 \]
步骤 6：设置行列式为0
由于矩阵的秩为2，这个行列式也必须为零：
\[ -y - 10 = 0 \quad \text{(2)} \]
步骤 7：求解方程(2)
解方程 (2)，我们得到：
\[ y = -10 \]
步骤 8：代入方程(1)
将 $ y = -10 $ 代入方程 (1)，我们得到：
\[ -4 - x(-10) - 2x + (-10) = 0 \]
步骤 9：简化方程
简化后，我们得到：
\[ -4 + 10x - 2x - 10 = 0 \implies 8x - 14 = 0 \implies 8x = 14 \implies x = \frac{7}{4} \]