题目
'.当 in (-3,3) 时,函数 (x)=dfrac (1)(3+x) 展开成x的-|||-幂级数为 ()();-|||-A .sum _(n=0)^infty dfrac ({(-1))^n+1}({3)^n+1}(x)^n-|||-B .sum _(n=0)^infty dfrac ({(-1))^n}({3)^n}(x)^n-|||-C .sum _(n=0)^infty dfrac ({(-1))^n+1}({3)^n}(x)^n-|||-D .sum _(n=0)^infty dfrac ({(-1))^n}({3)^n+1}(x)^n
题目解答
答案
解析
步骤 1：将函数 $f(x)=\dfrac {1}{3+x}$ 转换为幂级数形式
首先，我们注意到函数 $f(x)=\dfrac {1}{3+x}$ 可以写成 $\dfrac {1}{3}\dfrac {1}{1+\dfrac {x}{3}}$ 的形式。这一步是通过将分母中的 $3+x$ 分解为 $3(1+\dfrac {x}{3})$ 来实现的。
步骤 2：利用几何级数公式展开
接下来，我们利用几何级数公式 $\dfrac {1}{1-r}=\sum _{n=0}^{\infty }r^{n}$，其中 $|r|<1$。在这个问题中，$r=\dfrac {x}{3}$，因此我们有 $\dfrac {1}{1+\dfrac {x}{3}}=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{(\dfrac {x}{3})}^{n}$。这里，我们使用了 $r=-\dfrac {x}{3}$，因为原函数中的分母是 $1+\dfrac {x}{3}$。
步骤 3：将几何级数公式应用到原函数
将步骤 2 中的级数代入到原函数中，我们得到 $f(x)=\dfrac {1}{3}\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{(\dfrac {x}{3})}^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {{(-1)}^{n}}{{3}^{n+1}}{x}^{n}$。这里，我们把 $\dfrac {1}{3}$ 乘到级数的每一项上，得到最终的幂级数形式。
首先，我们注意到函数 $f(x)=\dfrac {1}{3+x}$ 可以写成 $\dfrac {1}{3}\dfrac {1}{1+\dfrac {x}{3}}$ 的形式。这一步是通过将分母中的 $3+x$ 分解为 $3(1+\dfrac {x}{3})$ 来实现的。
步骤 2：利用几何级数公式展开
接下来，我们利用几何级数公式 $\dfrac {1}{1-r}=\sum _{n=0}^{\infty }r^{n}$，其中 $|r|<1$。在这个问题中，$r=\dfrac {x}{3}$，因此我们有 $\dfrac {1}{1+\dfrac {x}{3}}=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{(\dfrac {x}{3})}^{n}$。这里，我们使用了 $r=-\dfrac {x}{3}$，因为原函数中的分母是 $1+\dfrac {x}{3}$。
步骤 3：将几何级数公式应用到原函数
将步骤 2 中的级数代入到原函数中，我们得到 $f(x)=\dfrac {1}{3}\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{(\dfrac {x}{3})}^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {{(-1)}^{n}}{{3}^{n+1}}{x}^{n}$。这里，我们把 $\dfrac {1}{3}$ 乘到级数的每一项上，得到最终的幂级数形式。