设 z = xy + xF(u), 其中 u = (y)/(x), F 是可微的函数, 则 x(partial z)/(partial x) + y(partial z)/(partial y) = ( )A. xyB. 0C. zD. xy + z

本题考查复合函数求偏导数的知识。解题思路是先根据复合函数求导法则分别求出$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$，再将其代入$x\frac{\partial z}{\partial x} + y\frac{\partial z}{\partial y}$进行计算。

1. 求$\frac{\partial z}{\partial x}$

已知$z = xy + xF(u)$，$u = \frac{y}{x}$。
根据求导的加法法则$(u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime$，对$z$关于$x$求偏导数：

• 对于$xy$关于$x$求偏导数，把$y$看作常数，根据求导公式$(ax)^\prime=a$（$a$为常数），可得$\frac{\partial(xy)}{\partial x}=y$。
• 对于$xF(u)$关于$x$求偏导数，根据乘积的求导法则$(uv)^\prime=u^\prime v + uv^\prime$，这里$u = x$，$v = F(u)$，则$\frac{\partial(xF(u))}{\partial x}=F(u)+x\frac{dF(u)}{du}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}$。
  对$u = \frac{y}{x}$关于$x$求偏导数，把$y$看作常数，根据求导公式$(\frac{a}{x})^\prime=-\frac{a}{x^2}$（$a$为常数），可得$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{y}{x^2}$。
  所以$\frac{\partial(xF(u))}{\partial x}=F(u)+x\cdot F^\prime(u)\cdot(-\frac{y}{x^2})=F(u)-\frac{y}{x}F^\prime(u)$。
  则$\frac{\partial z}{\partial x}=y + F(u)-\frac{y}{x}F^\prime(u)$。

2. 求$\frac{\partial z}{\partial y}$

同样根据求导的加法法则，对$z$关于$y$求偏导数：

• 对于$xy$关于$y$求偏导数，把$x$看作常数，根据求导公式$(ay)^\prime=a$（$a$为常数），可得$\frac{\partial(xy)}{\partial y}=x$。
• 对于$xF(u)$关于$y$求偏导数，$x$为常数，则$\frac{\partial(xF(u))}{\partial y}=x\frac{dF(u)}{du}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}$。
  对$u = \frac{y}{x}$关于$y$求偏导数，把$x$看作常数，根据求导公式$(\frac{y}{a})^\prime=\frac{1}{a}$（$a$为常数），可得$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{x}$。
  所以$\frac{\partial(xF(u))}{\partial y}=x\cdot F^\prime(u)\cdot\frac{1}{x}=F^\prime(u)$。
  则$\frac{\partial z}{\partial y}=x + F^\prime(u)$。

3. 计算$x\frac{\partial z}{\partial x} + y\frac{\partial z}{\partial y}$

将$\frac{\partial z}{\partial x}=y + F(u)-\frac{y}{x}F^\prime(u)$和$\frac{\partial z}{\partial y}=x + F^\prime(u)$代入$x\frac{\partial z}{\partial x} + y\frac{\partial z}{\partial y}$可得：
$\begin{align*}&x(y + F(u)-\frac{y}{x}F^\prime(u)) + y(x + F^\prime(u))\\=&xy + xF(u) - yF^\prime(u) + xy + yF^\prime(u)\\=&xy + xF(u) + xy\\=&xy + (xy + xF(u))\end{align*}$
因为$z = xy + xF(u)$，所以$x\frac{\partial z}{\partial x} + y\frac{\partial z}{\partial y}=xy + z$。