3.(1)求二阶偏微分方程 dfrac ({partial )^2z}(partial xpartial y)=(x)^2y 的通解,(2)求该方程满足定解条件-|||-(x,0)=(x)^2, (1,y)=cos y 的特解.

步骤 1：求解通解
首先，我们对给定的偏微分方程 $\dfrac {{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}={x}^{2}y$ 进行积分。首先对 $y$ 积分，得到：
$$
\dfrac {\partial z}{\partial x} = \int {x}^{2}y \, dy = \dfrac{1}{2}x^2y^2 + \varphi(x)
$$
其中，$\varphi(x)$ 是关于 $x$ 的任意函数，因为对 $y$ 积分时，$x$ 被视为常数。

步骤 2：求解 $z(x,y)$
接下来，对上式关于 $x$ 积分，得到：
$$
z(x,y) = \int \left(\dfrac{1}{2}x^2y^2 + \varphi(x)\right) \, dx = \dfrac{1}{6}x^3y^2 + \int \varphi(x) \, dx + \psi(y)
$$
其中，$\psi(y)$ 是关于 $y$ 的任意函数，因为对 $x$ 积分时，$y$ 被视为常数。因此，通解为：
$$
z(x,y) = \dfrac{1}{6}x^3y^2 + \int \varphi(x) \, dx + \psi(y)
$$

步骤 3：求解特解
根据定解条件 $z(x,0)={x}^{2}$，代入通解中，得到：
$$
z(x,0) = \dfrac{1}{6}x^3 \cdot 0^2 + \int \varphi(x) \, dx + \psi(0) = {x}^{2}
$$
因此，$\int \varphi(x) \, dx = {x}^{2} - \psi(0)$。再根据定解条件 $z(1,y)=\cos y$，代入通解中，得到：
$$
z(1,y) = \dfrac{1}{6} \cdot 1^3 \cdot y^2 + \int \varphi(1) \, dx + \psi(y) = \cos y
$$
因此，$\psi(y) = \cos y - \dfrac{1}{6}y^2 - \int \varphi(1) \, dx$。将 $\int \varphi(x) \, dx$ 和 $\psi(y)$ 代入通解中，得到特解：
$$
z(x,y) = \dfrac{1}{6}x^3y^2 + {x}^{2} - \psi(0) + \cos y - \dfrac{1}{6}y^2 - \int \varphi(1) \, dx
$$
由于 $\psi(0)$ 和 $\int \varphi(1) \, dx$ 是常数，可以合并为一个常数 $C$，因此特解为：
$$
z(x,y) = \dfrac{1}{6}x^3y^2 + {x}^{2} + \cos y - \dfrac{1}{6}y^2 + C
$$