【计算题】有一旋转变换,先绕固定坐标系 z 0 轴转 45 o , 再绕 x 0 轴转 30 °,最后绕 y 0 轴转 60 °,试求该齐次变换矩阵

考查要点：本题主要考查三维空间中绕固定坐标轴连续旋转的齐次变换矩阵的合成顺序。
解题核心思路：明确旋转矩阵的乘法顺序遵循“先执行的旋转矩阵在右，后执行的在左”的原则，且每个旋转均基于原始固定坐标系的轴进行。
关键点：

1. 固定坐标系旋转：每次旋转的轴是原始坐标系的轴，而非物体自身旋转后的坐标系。
2. 矩阵乘法顺序：总旋转矩阵为各分旋转矩阵的乘积，按执行顺序从右到左排列。

步骤1：确定旋转顺序与矩阵形式

题目要求依次绕固定坐标系的 z₀轴（45°）→ x₀轴（30°）→ y₀轴（60°） 旋转。
根据固定坐标系旋转规则，总旋转矩阵为：
$R = \text{Rot}(y_0, 60^\circ) \cdot \text{Rot}(x_0, 30^\circ) \cdot \text{Rot}(z_0, 45^\circ)$
其中，每个旋转矩阵的定义如下：

• 绕z轴旋转：
  $\text{Rot}(z, \theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
• 绕x轴旋转：
  $\text{Rot}(x, \theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$
• 绕y轴旋转：
  $\text{Rot}(y, \theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{bmatrix}$

步骤2：代入角度计算各分矩阵

将具体角度代入上述公式，依次计算三个旋转矩阵，再按顺序相乘即可得到总旋转矩阵。