题目
12.某种型号的电灯泡使用时间（单位：小时）为一随机变量ξ，其概率密度f(x)=}(1)/(5000)e^(x)/(5000)&x>00&xleq0求3个这种型号的电灯泡使用了1000小时后至少有2个仍可继续使用的概率。
12.某种型号的电灯泡使用时间（单位：小时）为一随机变量ξ，其概率密度
$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{5000}e^{\frac{x}{5000}}&x>0\\0&x\leq0\end{cases}$
求3个这种型号的电灯泡使用了1000小时后至少有2个仍可继续使用的概率。
题目解答
答案
1. **计算单个电灯泡使用超过1000小时的概率**
概率密度函数为 $ f(x) = \frac{1}{5000} e^{-\frac{x}{5000}} $（$ x > 0 $），
故 $ P(\xi > 1000) = \int_{1000}^{\infty} f(x) \, dx = e^{-\frac{1000}{5000}} = e^{-\frac{1}{5}} $。
2. **计算3个电灯泡中至少有2个使用超过1000小时的概率**
设 $ X $ 为使用超过1000小时的电灯泡数，$ X \sim B(3, e^{-\frac{1}{5}}) $，
则 $ P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3) $，
其中 $ P(X = 2) = 3(e^{-\frac{1}{5}})^2(1 - e^{-\frac{1}{5}}) $，
$ P(X = 3) = (e^{-\frac{1}{5}})^3 $，
故 $ P(X \geq 2) = 3e^{-\frac{2}{5}} - 2e^{-\frac{3}{5}} $。
**答案：**
\[
\boxed{3e^{-\frac{2}{5}} - 2e^{-\frac{3}{5}}}
\]
解析
考查要点：本题主要考查指数分布的概率计算和二项分布的应用。
解题思路：
- 单个灯泡使用时间超过1000小时的概率：利用指数分布的性质直接计算。
- 至少2个灯泡使用时间超过1000小时的概率：将问题转化为二项分布模型，计算满足条件的概率之和。
关键点：
- 指数分布的无记忆性简化了概率计算。
- 二项分布中组合数的正确应用。
1. 计算单个灯泡使用超过1000小时的概率
概率密度函数为 $f(x) = \frac{1}{5000} e^{-\frac{x}{5000}}$（$x > 0$），对应参数为 $\beta = 5000$ 的指数分布。
根据指数分布的性质，概率为：
$P(\xi > 1000) = e^{-\frac{1000}{5000}} = e^{-\frac{1}{5}}.$
2. 计算3个灯泡中至少2个使用超过1000小时的概率
设 $X$ 为使用超过1000小时的灯泡数，$X \sim B(3, e^{-\frac{1}{5}})$。
需计算 $P(X \geq 2) = P(X=2) + P(X=3)$：
- 当 $X=2$ 时：
$P(X=2) = \binom{3}{2} \left(e^{-\frac{1}{5}}\right)^2 \left(1 - e^{-\frac{1}{5}}\right) = 3 e^{-\frac{2}{5}} \left(1 - e^{-\frac{1}{5}}\right).$ - 当 $X=3$ 时：
$P(X=3) = \binom{3}{3} \left(e^{-\frac{1}{5}}\right)^3 = e^{-\frac{3}{5}}.$ - 总概率：
$P(X \geq 2) = 3 e^{-\frac{2}{5}} \left(1 - e^{-\frac{1}{5}}\right) + e^{-\frac{3}{5}} = 3 e^{-\frac{2}{5}} - 2 e^{-\frac{3}{5}}.$