题目
某随机变量 X 的概率密度函数为(x)=dfrac (2)(pi )dfrac (1)({e)^x+(e)^-x}，则分布函数为(x)=dfrac (2)(pi )dfrac (1)({e)^x+(e)^-x}( )对错
某随机变量 X 的概率密度函数为
，则分布函数为
( )
- 对
- 错
题目解答
答案
因为随机变量 X 的概率密度函数为，
所以其分布函数为
，
正确，故选A.
解析
步骤 1：确定概率密度函数
给定随机变量 X 的概率密度函数为$f(x)=\dfrac {2}{\pi }\dfrac {1}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$。
步骤 2：计算分布函数
分布函数$F(x)$是概率密度函数$f(x)$的不定积分，即$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$。
将$f(x)$代入，得到$F(x) = \int_{-\infty}^{x} \dfrac {2}{\pi }\dfrac {1}{{e}^{t}+{e}^{-t}} dt$。
步骤 3：求解积分
为了求解积分，我们使用换元法。令$u = e^t$，则$du = e^t dt$，即$dt = \dfrac{du}{u}$。
代入积分，得到$F(x) = \dfrac {2}{\pi }\int_{-\infty}^{x} \dfrac {1}{u + \dfrac{1}{u}} \dfrac{du}{u} = \dfrac {2}{\pi }\int_{-\infty}^{x} \dfrac {1}{u^2 + 1} du$。
这个积分是标准形式，其结果为$\arctan(u)$，因此$F(x) = \dfrac {2}{\pi }\arctan(e^t) |_{-\infty}^{x}$。
步骤 4：计算极限
$F(x) = \dfrac {2}{\pi }\arctan(e^x) - \lim_{t \to -\infty} \dfrac {2}{\pi }\arctan(e^t)$。
由于$\lim_{t \to -\infty} e^t = 0$，所以$\lim_{t \to -\infty} \arctan(e^t) = \arctan(0) = 0$。
因此，$F(x) = \dfrac {2}{\pi }\arctan(e^x)$。
给定随机变量 X 的概率密度函数为$f(x)=\dfrac {2}{\pi }\dfrac {1}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$。
步骤 2：计算分布函数
分布函数$F(x)$是概率密度函数$f(x)$的不定积分，即$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$。
将$f(x)$代入，得到$F(x) = \int_{-\infty}^{x} \dfrac {2}{\pi }\dfrac {1}{{e}^{t}+{e}^{-t}} dt$。
步骤 3：求解积分
为了求解积分，我们使用换元法。令$u = e^t$，则$du = e^t dt$，即$dt = \dfrac{du}{u}$。
代入积分，得到$F(x) = \dfrac {2}{\pi }\int_{-\infty}^{x} \dfrac {1}{u + \dfrac{1}{u}} \dfrac{du}{u} = \dfrac {2}{\pi }\int_{-\infty}^{x} \dfrac {1}{u^2 + 1} du$。
这个积分是标准形式，其结果为$\arctan(u)$，因此$F(x) = \dfrac {2}{\pi }\arctan(e^t) |_{-\infty}^{x}$。
步骤 4：计算极限
$F(x) = \dfrac {2}{\pi }\arctan(e^x) - \lim_{t \to -\infty} \dfrac {2}{\pi }\arctan(e^t)$。
由于$\lim_{t \to -\infty} e^t = 0$，所以$\lim_{t \to -\infty} \arctan(e^t) = \arctan(0) = 0$。
因此，$F(x) = \dfrac {2}{\pi }\arctan(e^x)$。