求下列极限（3）lim _(xarrow infty )(dfrac ({x)^3}(2{x)^2-1}-dfrac ({x)^2}(2x+1))

考查要点：本题主要考查分式极限的计算方法，特别是当变量趋向于无穷大时，如何通过通分合并分式，分析分子和分母的最高次项来确定极限值。

解题核心思路：

1. 通分合并：将两个分式通分，转化为单一分式的形式。
2. 展开化简：展开分子和分母，保留最高次项。
3. 极限法则：利用“最高次项系数比”的法则直接求解。

破题关键点：

• 通分后的分子展开需准确无误，避免符号错误。
• 最高次项的识别是简化表达式的突破口，忽略低次项和常数项的影响。

步骤1：通分合并分式
原式为：
$\lim _{x\rightarrow \infty }\left(\dfrac{x^{3}}{2x^{2}-1} - \dfrac{x^{2}}{2x+1}\right)$
通分后，公共分母为 $(2x^{2}-1)(2x+1)$，分子为：
$x^{3}(2x+1) - x^{2}(2x^{2}-1)$

步骤2：展开分子和分母

• 分子展开：
  $\begin{aligned} x^{3}(2x+1) &= 2x^{4} + x^{3}, \\ x^{2}(2x^{2}-1) &= 2x^{4} - x^{2}, \\ \text{分子} &= (2x^{4} + x^{3}) - (2x^{4} - x^{2}) = x^{3} + x^{2}. \end{aligned}$
• 分母展开：
  $(2x^{2}-1)(2x+1) = 4x^{3} + 2x^{2} - 2x - 1.$

步骤3：化简分式并求极限
合并后的分式为：
$\frac{x^{3} + x^{2}}{4x^{3} + 2x^{2} - 2x - 1}$
当 $x \rightarrow \infty$ 时，分子和分母的最高次项均为 $x^{3}$，因此极限值为最高次项系数之比：
$\frac{1}{4}.$