题目
[题目]3阶方阵A的特征值为1, -1, 2,则 |(A)^2-2E|=
题目解答
答案
解析
步骤 1：特征值的定义
由特征值的定义，对于方阵A，如果存在非零向量α，使得 $A\alpha =\lambda \alpha $，其中λ为特征值，α为特征向量。
步骤 2：计算 ${A}^{2}\alpha $
根据特征值的定义，有 ${A}^{2}\alpha =A(A\alpha )=A(\lambda \alpha )=\lambda A\alpha ={\lambda }^{2}\alpha $。
步骤 3：计算 $({A}^{2}-2E)\alpha $
根据步骤2的结果，有 $({A}^{2}-2E)\alpha =({\lambda }^{2}-2)\alpha $。这表明，如果λ是A的特征值，那么 ${\lambda }^{2}-2$ 就是 ${A}^{2}-2E$ 的特征值。
步骤 4：计算 ${A}^{2}-2E$ 的特征值
根据题目，A的特征值为1，-1，2。因此，${A}^{2}-2E$ 的特征值为 ${1}^{2}-2=-1$，${(-1)}^{2}-2=-1$，${2}^{2}-2=2$。
步骤 5：计算行列式 $|{A}^{2}-2E|$
行列式的值等于其特征值的乘积，因此 $|{A}^{2}-2E|=(-1)\times (-1)\times 2=2$。
由特征值的定义，对于方阵A，如果存在非零向量α，使得 $A\alpha =\lambda \alpha $，其中λ为特征值，α为特征向量。
步骤 2：计算 ${A}^{2}\alpha $
根据特征值的定义，有 ${A}^{2}\alpha =A(A\alpha )=A(\lambda \alpha )=\lambda A\alpha ={\lambda }^{2}\alpha $。
步骤 3：计算 $({A}^{2}-2E)\alpha $
根据步骤2的结果，有 $({A}^{2}-2E)\alpha =({\lambda }^{2}-2)\alpha $。这表明，如果λ是A的特征值，那么 ${\lambda }^{2}-2$ 就是 ${A}^{2}-2E$ 的特征值。
步骤 4：计算 ${A}^{2}-2E$ 的特征值
根据题目，A的特征值为1，-1，2。因此，${A}^{2}-2E$ 的特征值为 ${1}^{2}-2=-1$，${(-1)}^{2}-2=-1$，${2}^{2}-2=2$。
步骤 5：计算行列式 $|{A}^{2}-2E|$
行列式的值等于其特征值的乘积，因此 $|{A}^{2}-2E|=(-1)\times (-1)\times 2=2$。