题目
lim _(x arrow 0) (x y)/(sqrt(x y+1)-1) = ( )A. -2B. 0C. 2D. infty
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x y}{\sqrt{x y+1}-1} = (\quad)$
A. -2
B. 0
C. 2
D. $\infty$
题目解答
答案
C. 2
解析
步骤 1：有理化分母
将原式有理化分母，乘以分母的共轭表达式，以消除根号。 \[ \lim_{x \to 0, y \to 0} \frac{xy}{\sqrt{xy+1}-1} \cdot \frac{\sqrt{xy+1}+1}{\sqrt{xy+1}+1} \]
步骤 2：简化表达式
简化表达式，消去分母中的根号。 \[ \lim_{x \to 0, y \to 0} \frac{xy(\sqrt{xy+1}+1)}{xy} = \lim_{x \to 0, y \to 0} (\sqrt{xy+1}+1) \]
步骤 3：代入 $x = 0$ 和 $y = 0$
代入 $x = 0$ 和 $y = 0$，计算极限值。 \[ \sqrt{0 \cdot 0 + 1} + 1 = 2 \]
步骤 4：泰勒展开法
使用泰勒展开法，当 $xy$ 接近于 0 时，$\sqrt{xy+1} - 1$ 可以近似为 $\frac{1}{2}xy$。 \[ \lim_{xy \to 0} \frac{xy}{\frac{1}{2}xy} = 2 \]
将原式有理化分母，乘以分母的共轭表达式，以消除根号。 \[ \lim_{x \to 0, y \to 0} \frac{xy}{\sqrt{xy+1}-1} \cdot \frac{\sqrt{xy+1}+1}{\sqrt{xy+1}+1} \]
步骤 2：简化表达式
简化表达式，消去分母中的根号。 \[ \lim_{x \to 0, y \to 0} \frac{xy(\sqrt{xy+1}+1)}{xy} = \lim_{x \to 0, y \to 0} (\sqrt{xy+1}+1) \]
步骤 3：代入 $x = 0$ 和 $y = 0$
代入 $x = 0$ 和 $y = 0$，计算极限值。 \[ \sqrt{0 \cdot 0 + 1} + 1 = 2 \]
步骤 4：泰勒展开法
使用泰勒展开法，当 $xy$ 接近于 0 时，$\sqrt{xy+1} - 1$ 可以近似为 $\frac{1}{2}xy$。 \[ \lim_{xy \to 0} \frac{xy}{\frac{1}{2}xy} = 2 \]